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en analyse mathématique, un 'approximation linéaire est un type d'approximation d'une fonction à un ligne droite ou en tout cas à un fonction affines (Translation d'une fonction linéaire). Ce processus est également connu sous le nom linéarisation ou développement au premier ordre de la fonction.

Les approximations linéaires sont actuellement utilisés dans de nombreux domaines mathématiques et physique, car ils permettent, selon des hypothèses appropriées, de simplifier les problèmes complexes (et parfois pas autrement résoluble analytiquement).

définition

la variable réelle

Approximation linéaire
ligne tangente au graphe de la fonction au point .

les deux une véritable fonction d'une variable réelle dérivable en . On peut alors écrire polynôme de Taylor centré dans la fonction , arrêté au premier ordre:

où la notation ou petit Il indique que:

à savoir que la repos négligée au cours de l'approximation est un infinitésimal d'ordre supérieur. Nous pouvons écrire l'approximation:

qui est l'équation d'une ligne droite; il est appelé ligne tangente au graphique de le point d'abscisse . Ceci est la ligne droite qui se rapproche de façon linéaire autour , et il est défini que pour des fonctions différentiables au moins une fois à ce point; une fonction différentiable en un point, en fait, peut être « vu à grossissements toujours plus » jusqu'à être impossibles à distinguer, à proximité immédiate du point, par une ligne droite: il est la ligne tangente.

Fonctions variables vecteur

Approximation linéaire
Le plan illustré se rapproche de la fonction linéaire (deux variables) autour du point de tangence (dans ce cas, le maximum de la fonction).

les deux une véritable fonction variables réelles , différentiables en ouvert. Le développement de premier ordre autour vous pouvez écrire:

où:

est le pente de calculé au point et

.

Ce produit scalaire définit un hyperplan -tangente à la courbe tridimensionnelle (immergé dans '-l'espace) de la fonction au point ; Cette hyperplan (qui, dans le cas elle est précisément la ligne tangente) se rapproche de la fonction linéaire autour , et la fonction d'approximation:

Il est une fonction affine, compte tenu de la linéarité la produit scalaire.

Dans le cas des fonctions vectorielles composants:

différentiables fois ouvert, il est possible d'approcher de façon linéaire la composante de fonction de composants, obtenir (pour une ):

pour chaque 1 à ; en utilisant la notation vectorielle, vous pouvez écrire:

où:

est le jacobien fonction calculé au point , qui contient la totalité des gradients composants ; Bien sûr, si , on retrouve la formule de la ligne tangente.

généralisation

Une fonction définie sur un espace de Banach Il peut de même être approchée par la fonction linéaire:

Il est dérivé du Fréchet le point .

bibliographie

  • (FR) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., calcul III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • (FR) Strang, Gilbert, calcul, Wellesley College, 1991, p. 94 ISBN 0-9614088-2-0.
  • (FR) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., calcul III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
  • Strang, Gilbert, calcul, Wellesley College, 1991, p. 94 ISBN 0-9614088-2-0.
  • (FR) Bock, David; Hockett, Shirley O., Comment se préparer pour le calcul AP, Hauppauge, NY, Educational Series Barron, 2005, p. 118, ISBN 0-7641-2382-3.

Articles connexes

liens externes

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