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L 'Axiom of Choice est un axiome de La théorie des ensembles partit pour la première fois depuis Ernst Zermelo en 1904[1]. Il précise que

donné une famille pas vide de ensembles pas vide, il est une fonction qui mettre chaque famille mappe un son élément.

En ce qui concerne la non-formelle, l'axiome veille à ce que, quand il est donné une collection d'ensembles non vides, vous pouvez toujours construire un nouvel ensemble « sélectionner » un seul élément de chacun de ces de départ. Si le nombre des ensembles de départ est terminé, les autres axiomes de La théorie des ensembles Ils sont suffisants pour garantir la possibilité de ce choix; dans le cas d'un nombre infini d'ensembles à la place nécessaire d'introduire dans une théorie axiome spécifique, l'axiome de choix avec précision.

Un exemple typique qui explique le sens de l'axiome est: supposons que nous avons un nombre infini de paires de chaussures et que vous voulez définir un ensemble qui contient un (et un seul) de chaque paire de chaussures; nous pouvons le faire sans tenir compte des questions telles que l'ensemble des bonnes chaussures. Des problèmes se posent si nous avons un nombre infini de paires de chaussettes (en supposant le droit et la gauche ne se distinguent pas), et nous voulons considérer comme avant un ensemble contenant une chaussette pour chacun d'eux: nous ne pouvons plus parler de l'ensemble des " chaussettes droite « et nous avons en fait aucun moyen de distinguer les deux éléments d'une paire, qui est, d'avoir un fonction de choix nous assurer d'être en mesure de choisir simultanément un de chaque ensemble. Pour pouvoir dire que dans tous les cas, un tel ensemble est nul besoin d'invoquer 'Axiom of Choice.

L'axiome de choix est parfois appelé par l'acronyme AC (anglais Axiom of Choice), En particulier dans le la logique mathématique.

Le rôle en mathématiques contemporaine

En mathématiques contemporaines a de nombreuses implications importantes l'axiome de choix dans toutes les branches, ce qui a sans doute contribué au fait qu'il a été largement acceptée.

Certains résultats pour lesquels il est indispensable de l'axiome du choix:

  • chaque espace vectoriel Il admet une non-nulle base
  • chaque terrain il admet une clôture algébrique, seulement à isomorphisme près.
  • chaque anneau unitaire admet idéaux maximaux
  • la théorème de compacité de la logique de prédicats
  • la théorème de Hahn-Banach

Si d'une part l'axiome de choix permet de démontrer les résultats importants, d'autre part conduit également à la construction d'objets mathématiques contre-intuitif, comme des ensembles non mesurables (voir le 'un ensemble de Vitali) Ou comme partitions finies de la sphère qui se réassemblé correctement deux boules chacun avec un rayon égal à celui de la sphère de départ (voir Banach-Tarski).

Utterances équivalent à l'axiome du choix

Il y a beaucoup d'autres formulations qui peuvent démontrer équivalent à l'axiome du choix: à savoir que l'acceptation comme axiomes un d'entre eux peut être démontré AC, et vice-versa AC accepter qu'ils sont tous démontrable. Le plus commun d'entre eux sont

  • Lemme de Zorn
  • Théorème du bon ordre: Sur chaque jeu peut être défini comme bon genre.
  • Axiom multiplicatif: le produit cartésien d'une famille d'ensembles non vides n'est pas vide.
  • Hartogs théorème: le relation d'ordre standard sur cardinaux Il est total.

La cohérence et l'indépendance des autres axiomes

en 1938, Kurt Gödel a montré que si la axiomatique de Zermelo - Fraenkel (Également connu sous l'acronyme ZF) est substantiel il reste constant même avec l'ajout de l'axiome du choix. a été atteint le résultat de Gödel en construisant une modèle à la théorie des ensembles où l'axiome de choix était valide (le modèle est connu sous le nom des « ensembles de l'univers » constructible). Cependant, l'axiome de choix ne peut pas être prouvée par les autres axiomes, comme cela a été démontré par Cohen en 1963. La preuve de Cohen est basée sur la construction d'une modèle alternative à la théorie des ensembles par la technique de forçage: dans le modèle Cohen tous les axiomes ZF sont vraies et l'axiome de choix est faux.

notes

  1. ^ Ernst Zermelo, Neuer Beweis, dass jede Menge Wohlordnung werden kann (Aus einem Briefe Un gerichteten Herrn Hilbert), en Mathematische Annalen, vol. 59, 1904, pp. 514-516.

Articles connexes

  • Axiome du choix dénombrable

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