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Fraction (mathématiques)
Un gâteau divisé en quatre quartiers, dont l'un est manquant. Chaque trimestre est exprimé numériquement 1/4.

un fraction (Du latin fractus, cassé, cassé), selon la définition classique de leur 'arithmétique, Il est un moyen d'exprimer une quantité basée sur la division d'un objet en un certain nombre de parties de la même taille. Par exemple, si vous coupez un gâteau en quatre tranches égales, chacun d'entre eux est appelé un quart d'un gâteau (représenté avec 1/4); deux quarts est la moitié du gâteau, et huit quartiers forment deux gâteaux.
En termes plus généraux, il est indiqué le nom de fraction chaque membre de l'ensemble de générique nombres rationnels.

fractions Histoire

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Histoire du hameau.

Les origines du hameau ont les relations commerciales entre les civilisations qui se croisent les plus anciennes qui nécessairement conduit à l'utilisation des sous-unités de mesure utilisées ensuite. Les documents historiques enregistrent l'utilisation des fractions par les anciens Égyptiens au XVIIe siècle avant JC

Définition et nomenclature

Une fraction est un objet mathématique qui indique la relations deux entiers. Les deux entiers sont séparés par un trait d'union, lesdits fraction de ligne, qui peut être horizontal, comme dans ces exemples: ou en diagonale comme ½, ¾, .

Dans l'exemple des tranches de tarte ci-dessus, dans la représentation numérique comme 1/4 le nombre inférieur, ladite dénominateur, indique le nombre total de parties égales ce qui compose le gâteau entier, et le nombre supérieur, numérateur, est le nombre de pièces qui ont été prises. Les deux termes ont une origine de latin. Numérateur a la même racine énumérer, à-dire « comptage »; donc il indique combien les fractions soi-disant « minimum » Nous dans le quartier. Dénominateur dérive évidemment de appel, à savoir, donner un nom; le nom est le type de pièces qui ont été faites (moitié, tiers, quart ...).

Le dénominateur doit toujours être différent de zéro: il est en effet pas possible de faire un division par zéro.

Types spéciaux de fractions

Une fraction peut être:

  • réduit au minimum - ou irréductible - si le numérateur et le dénominateur sont des nombres coprime (Leur M.C.D. est 1);
  • propre si le numérateur est inférieur au dénominateur;
  • incorrect si le numérateur est plus grand;
  • apparent si le numérateur est un multiple du dénominateur ou égal à elle;
  • unitaire si le numérateur 1;
  • décimal si le dénominateur est puissance 10. Les fractions décimales sont tous les nombres exprimables avec un nombre fini de chiffres en base dix.
  • dyadique si le dénominateur est puissance de deux.

De plus, fraction égyptienne Il est en train d'écrire un nombre rationnel comme une somme de Les fractions unitaires.

D'autres types de fractions

Le terme « fraction » est utilisé pour décrire d'autres objets mathématiques. Dans les écoles, vous pouvez par exemple entendre parler fraction mixte ou nombre mixte: Il est un numéro composé d'une partie entière plus une fraction appropriée, représentée par la notation suivante[1]:

être a, b, c de nombres entiers b < c comme dans .

Dans la tradition des pays anglo-saxons souvent associés à des unités habituelles de mesure (par exemple, les diamètres nominaux exprimée dans les tubes pouce)[2] est utilisé, en général, une notation différente qui omet le « + » et juxtapose l'ensemble de la population[3]:

ou àb/c Ainsi, par exemple ou .

Cette dernière notation est souvent sur les calculatrices électroniques[4]. Pour passer de la représentation comme un nombre mixte à une fraction impropre on procède de la manière suivante:

  1. Compte tenu du nombre Il est calculé à ' = c × à, par exemple donné puis à ' = 4 x 5 = 20.
  2. On estime b ' = à ' + b, puis b ' = 23.
  3. La fraction impropre est puis .

Si vous commencez avec une fraction impropre genre donc nous procédons à calculer le nombre mixte:

  1. Vous exécutez la division euclidienne à : b être q et le quotient r le reste, dans le cas de l'exemple q = 3 et r = 3.
  2. Ensuite, le nombre est mélangé ou dans le cas de l'exemple, il est .

La prévision du type de nombre décimal généré par une fraction

Que ce soit une date fraction irréductible (Ie avec à et b entiers sans diviseur commun).

puis, si le dénominateur b a seulement 2 ou 5 en tant que diviseurs premiers, la division Il correspond à un nombre décimal fini.

Dans le cas contraire, b si vous avez une diviseur premier différent de 2 ou 5, Elle correspond à une décimale récurrente.

exemple. le village a comme dénominateur 25 = 52 , dont le premier diviseur seulement 5. Donc Elle correspond à une décimale fini.

plutôt a comme dénominateur 14 = 2 · 7 , puis 2 et 7 sont ses deux diviseurs premiers et 7 est pas un diviseur premier de 33, puis Elle correspond à une décimale périodique.

comparaison

Fraction (mathématiques)
La comparaison des fractions

Vous pouvez comparer entre eux des nombres rationnels dans leur forme de la localité est sous forme de nombre décimal.

Les fractions avec le même dénominateur. Etant parties égales de la même subdivision de l'ensemble est supérieure à la fraction qui présente le plus grand numérateur (parties égales plus prises en considération).

Les fractions avec le même numérateur. Être pris en considération, dans ce cas, les mêmes parties égales, la division dans son ensemble, sera supérieure à la fraction qui a le plus petit dénominateur (dans certaines parties de parties égales sont certainement plus si la division a été faite dans des parties moins égales).

Les fractions avec différents numérateur et le dénominateur. Une comparaison entre les deux fractions peut être immédiate si l'on compare une fraction appropriée (inférieur à 1) et un incorrect (supérieur à 1).

Dans d'autres cas, avoir à comparer plusieurs fractions, il est conseillé de les réduire au même dénominateur, qui est, en faisant référence aux mêmes parties égales: avoir à comparer et , fractions de conversion et , où le dénominateur commun bd Il est le produit des dénominateurs à comparer; puis comparer les numérateurs entre eux: les entiers à et bc.

Pour travailler avec des nombres plus petits, peut être avantageux d'utiliser, au lieu du produit des dénominateurs, la commun multiple dénominateurs (m.c.m.) et transformer de manière adéquate les fractions (m.c.m. devient le dénominateur de la nouvelle fraction, le numérateur est calculé en multipliant le vieux numérateur par le quotient de la division de m.c.m. pour l'ancien dénominateur). A ce stade, la comparaison est réduite au cas des fractions avec le même dénominateur.

Multiplications et des divisions

Fraction (mathématiques)
Deux trimestres sont équivalents à un demi (1/2) Du gâteau, qui est, 2 x 1/4 = 1/2 .

Les étapes les plus simples que vous devriez prendre avec des fractions sont la multiplication et la division. Voici comment ces opérations sont effectuées.

Pour revenir à l'exemple du gâteau, si nous avons trois personnes qui reçoivent chacun un quart du gâteau nous nous retrouvons avec trois quarts distribuent. Numériquement, nous pouvons écrire:

Autre exemple, supposons que cinq personnes travaillent trois heures par jour sur un projet, et leur journée de travail est de sept heures. Au total, ils ont travaillé pendant 15 heures, soit 15/7 jour. Depuis 7/7 jour est une journée complète, au total, ils travaillent depuis deux jours et une septième: numérique,

Reprenant notre gâteau, si nous avons pris un quart de cela et nous voulons prendre la troisième place, nous avons un douzième. En fait, dressons trois parties égales de notre part et nous prenons un: mais si nous avions divisé en trois parties les quatre tranches initiales venaient quatre fois trois tranches, à savoir 12 tranches. En d'autres termes, un tiers d'un quart (ou « troisième fois un quart ») est un douzième. Numériquement, nous avons:

En tant que deuxième exemple, supposons que nos cinq gars ont fait un travail qui global équivalent à trois heures d'une journée de travail de sept heures. Chacun d'eux - à condition qu'ils ont travaillé avec la même vigueur! - fait un cinquième du total, puis ils ont travaillé pendant trois cinquième septièmes d'un jour. numériquement,

Dans la pratique, vous pouvez voir comment multiplier deux fractions, nous pouvons tout simplement multiplier les deux numérateurs entre eux, et les deux dénominateurs entre eux, et utiliser les résultats comme respectivement le numérateur et le dénominateur du produit. Par exemple:

ou algébriquement

Il est possible qu'une fraction dont le numérateur et le dénominateur de l'autre ont un facteur commun: dans ce cas, il est possible (avant ou après avoir effectué les deux produits) simplifier le résultat, en divisant les deux valeurs pour leur plus grand commun diviseur et en réduisant ainsi la fraction « à un minimum. » Par exemple,

Si l'un ou l'autre des fractions à multiplier sont mauvais, il est plus facile de convertir la fraction impropre en lui-même. Par exemple:

La meilleure façon de diviser deux fractions entre eux est de multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde. Voici un exemple:

Addition et soustraction

La règle pour l'addition (ou soustraction) des deux fractions est plus complexe; même ici, il peut être utile de revenir à l'exemple du gâteau pour obtenir la règle générale. combien du gâteau I Si deux gâteaux identiques sont coupés en quatre et cinq, respectivement, des parties, et je prends une tranche de chacun,? Imaginer de diviser chaque tranche de la première pie dans les cinq autres parties égales, et chacune de la seconde tranche de gâteau en quatre parties égales. les deux gâteaux que je partage sur ce point 5 x 4 = 20 pièces; de ceux-ci, j'ai cinq du premier gâteau et quatre dans le second, pour un total de neuf tranches. numériquement,

.

La formule générale d'ajouter deux fractions est donnée par

;

Si le plus grand commun diviseur M entre b et est supérieur à 1, il est possible de simplifier l'opération. lieu et , fait que nous

;

Notez que le dénominateur Mb'd ' est le commun multiple dénominateurs b et . Un exemple numérique est

.

commutativité

Il est important de se rappeler que la multiplication des avantages commutativité, ce qui signifie simplement que l'ordre des facteurs ne compte pas, trois fois un quart est égal à un quart de trois; numérique:

Fractions et système de nombre décimal

Chaque nombre rationnel peut être écrit en utilisant décimale d'écriture.

Un certain nombre décimal non périodique, soit avec une période égale à 0 (par exemple: 3,5 = 3,50), Peut-il être écrit sous une forme rationnelle en écrivant au numérateur tous les chiffres qui apparaissent en nombre, sans la virgule, et le dénominateur 1 suivi de beaucoup de zéros comme il y a des chiffres après la virgule, ou encore 10n, avec n nombre de décimales. La fraction ainsi obtenue, si elle est pas déjà, peut être simplifié pour que le numérateur et le dénominateur sont deux nombres premiers entre eux.

exemple:

La traduction d'un nombre périodique en une fraction peut plutôt être effectuée de la manière suivante: il est nécessaire de mettre au numérateur la différence entre le nombre décimal récurrent écrit sans virgules et tous les chiffres avant la période, et le dénominateur apportera beaucoup neuf comme il y a chiffres de la période, et autant de zéros sont les chiffres après la virgule décimale avant la période (mixte périodique antiperiodo).

exemple:

démonstration

Rappelez-vous que:

pourquoi:

Considérons pour simplifier le numéro 1.23456 et cerchiamone la génération de fraction.

Multiplier et diviser par 100, ou 10 à la nombre de chiffres dell'antiperiodo:

Nous séparons le numérateur de la partie entière de la décimale:

Nous mettons en évidence la période de la partie décimale:

On remplace la génération de fraction décimale périodique:

Nous plaçons chaque terme sous une seule ligne de fraction:

Nous écrivons 999 1000-1 ou 10 élevé au nombre de chiffres dans la période -1:

Enfin, nous séparons les termes positifs et négatifs dans le numérateur: .

généralisations

un fraction continue Il est une expression du type

avec àla des nombres entiers positifs (normalement, à l'exception peut-être pour à0).

Une extension des fractions est donnée par champ quotient un domaine solidaire.

notes

  1. ^ R. Fiamenghi, D. Giallongo, A. M. Cerini, noyau thématique: Nombre. 7 fractions, en opération mathématique. Arithmétique., Trevisini 2010.
  2. ^ AJ, Taille diamètre nominal NPS, NB Diamètre nominal, Diamètre extérieur OD, La tuyauterie d'ingénierie. Récupéré 22 Juillet, ici à 2015.
  3. ^ C. McKeague, Mathématiques de base: Un texte / classeur, Cengage Learning, 2012, p. 159, ISBN 978-1-133-10362-2.
  4. ^ Guide de l'utilisateur FX-50F plus (PDF), Tokyo., LTD, 2006 CASIO COMPUTER CO, p. 15-16.

Articles connexes

  • Réduire au minimum

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