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en mathématiques et notamment 'algèbre et ses applications dans le logarithmes discrets Je suis la contrepartie de la logarithmes ordinaires pour 'arithmétique modulaire.

Le problème de calcul de logarithmes discrets présente des similitudes remarquables avec celle de la factorisation de entiers, comme les deux problèmes sont supposés difficiles (non connu algorithmes qui les résoudre en temps polynomial), d'un algorithmes sont souvent adaptés à l'autre et vice versa, et les deux ont été utilisés comme base théorique pour la construction de systèmes cryptographique. En particulier, on applique le logarithme discret dans cryptographie de courbe elliptique. De tels systèmes de chiffrement fondent leur sécurité sur la difficulté supposée de ces problèmes.

Définition informelle

Tout comme le logarithme est le 'opération inverse dell 'exponentiel, de la même façon le logarithme discret est l'opération inverse de la puissance discret.

Imaginez que vous avez un ensemble A contenant les nombres entiers compris entre 0 et p - 1, où p est un premier numéro:

.

Nous définissons une opération pour plus de commodité ici par noterons sur deux chiffres :

où mod est l'opération de forme. cette opération Il est le pouvoir discret ci-dessus.

Nous définissons donc le « logarithme discret d'un certain nombre x selon à« Comme ce numéro b que , à savoir .

exemple

Le contexte dans lequel il est peut-être plus facile de comprendre le logarithme discret est à la groupe multiplicatif de entiers modulo p (avec p premier numéro), À savoir l'ensemble des entiers avec la multiplication modulo opération p; donc si nous voulons puissance k-e d'un élément du groupe, nous pouvons calculer la puissance k-th comme un nombre entier, puis prendre le reste de la division par p. Ce processus est appelé puissance discret. Par exemple, considérez ; pour obtenir dans ce groupe, on calcule d'abord et on divise 81-17, obtenant 4 avec le reste de 13; par conséquent, dans le groupe il est .

la logarithme discret il est l'inverse: donnée , qui k Il est la véritable expression? Strictement parlant, il y aurait des solutions entières sans fin à la nature modulaire du problème; En général, nous cherchons le plus petit non-négatif, ce qui est .

définition formelle

En général, les deux sol un groupe cyclique fini de n éléments (supposons une écriture multiplicatif). les deux b un générateur de sol; puis chaque élément g de sol Il peut être écrit sous la forme pour un certain nombre entier k. En outre, si pour deux complète h et k, puis h et k Ils sont le module congruent n. On peut alors définir une fonction:

Il indiqueanneau des entiers modulo n, affecter à chaque la classe de congruence k forme n. Cette fonction est un isomorphisme de groupes, dire logarithme discret selon b. b Il est également connu sous le nom racine primitive.

La formule de l'échange de base pour les logarithmes ordinaires reste valable: si c est un autre générateur sol, nous avons:

algorithmes

Il n'y a pas d'algorithmes efficaces connus pour le calcul de logarithmes discrets. Un algorithme possible est le recherche exhaustive, menée par l'élévation b en augmentant la puissance progressivement jusqu'à ce qu'il obtienne g; cela fonctionne, mais il nécessite un temps de calcul linéaire par rapport à la taille du groupe sol et ensuite de façon exponentielle par rapport au nombre de chiffres de la taille du groupe.

Il existe des algorithmes plus sophistiqués, inspirés généralement par des algorithmes similaires à la factorisation des nombres entiers. Ceux-ci sont plus rapides que la dernière, mais personne ne l'exécution polynôme.

  • Baby-pas de géant étape
  • L'algorithme rho de Pollard
  • algorithme Pohlig-Hellman
  • algorithme de calcul de l'index
  • tamis numéro général sur le terrain
  • tamis de champ Fonction

Le chiffrement

Le calcul de logarithmes discrets semble un problème difficile (pas d'algorithmes efficaces connus), tandis que le dell'esponenziazione discret problème inverse non. Cette asymétrie est analogue à celle entre la factorisation tout et multiplication des nombres entiers. Ces deux asymétries ont été utilisés pour construire des systèmes cryptographiques.

Dans le chiffrement basé sur les logarithmes discrets choix communs du groupe sol sont les groupes cycliques ; voir ElGamal, Diffie-Hellman et Algorithme de signature numérique.

Les applications les plus récentes de la cryptographie utilisent des logarithmes discrets dans les sous-groupes cycliques courbes elliptiques sur champs finis; voir cryptographie de courbe elliptique.

Articles connexes

  • logarithme
  • fonction à sens unique