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en algèbre abstraite et la géométrie algébrique, la spectre un anneau commutatif unitaire , indiqué , est le 'ensemble de tous idéaux premiers de . Il est généralement équipé de la topologie de Zariski et une structure de faisceau, ce qui en fait un espace annelé localement.

Structure de la commande

Le spectre d'un anneau Il a la structure ordre partiel induite par l'enceinte de confinement entre les idéaux premiers. Sous cet ordre, Il a toujours plafonds des éléments (la idéaux maximaux, dont l'existence est garantie, en supposant que le 'Axiom of Choice, de lemme Krull) Et un minimum; En outre, chaque élément de élément de plafond est inférieur et supérieur à un élément minimal. Une autre propriété de cet ordre est que si , alors il y a toujours deux éléments et de telle sorte que et il n'y a pas de contenu entre la première et .

Kaplansky Il a conjecturé que tout ensemble ordonné qui satisferait ces deux propriétés était isomorphe le spectre d'un certain cycle; cette hypothèse a été réfutée plus tard.[1] Cependant, vous pouvez trouver des anneaux dont le spectre est isomorphe à un ensemble ordonné fini, ainsi que des anneaux dont le spectre est isomorphe à un arbre qui a les deux propriétés précédentes.[1]

D'autres descendants des propriétés algébriques anneau: par exemple, si est un domaine solidaire puis a seulement un élément minimal, alors que si est un domaine Prüfer puis Il est un arbre. si il est noetherian, puis rencontre plusieurs autres propriétés: par exemple, le nombre d'éléments minimaux est terminé, et si l'ensemble des nombres premiers correctement compris entre et Il est vide ou infini (en raison de théorème principal de l'idéal).

Structure topologique

Le spectre d'un anneau Il est généralement pourvu d'une structure de espace topologique, que topologie de Zariski, où sont tous fermés et seuls les ensembles sous la forme , où varie entre idéaux de ; en plein air Il est généralement indiqué par . un base de cette topologie est constitué par des ensembles , avec qui varie entre les éléments de .

Le passage de l'idéal pour arrêter les inclusions, ce qui signifie que si , puis , comme chaque premier contenant idéal aussi contient . Fermé de la topologie de Zariski satisfaire également certaines propriétés par rapport aux opérations établies entre les idéaux: si , , Elles sont idéales pour , puis

et
.

De plus, ssi et Ils ont la même radical.

propriété

Il est toujours un espace compact et Kolmogorov (), Mais en général il n'est pas En fait, un point spectre est fermé si et seulement si est un idéal maximal, et alors il est si et seulement si le dimension Krull de Il est 0. Lorsque cela se produit, Il est également un espace Hausdorff.

Le spectre de il est coupé ssi Il est isomorphe produit direct deux anneaux de non-nulle. Plus intéressante est la décomposition en composantes irréductibles: un fermé est irréductible si et seulement si elle est sous la forme , où est un idéal premier, puis les composantes irréductibles Ils sont fermés correspondant au premier minimum de . En particulier, est irréductible si et seulement si n'a fait que le premier minimum, qui est, si et seulement si Il est un domaine intégral.

si Il est un anneau noethérien, puis il est l'un espace noethérien; en particulier, Il a un nombre fini de composantes irréductibles, puis un nombre fini de premier minimum. En général, peut aussi être un espace noethérien si Il n'est pas noethérien: cela se produit, par exemple, si Elle est terminée, comme dans le cas d'un domaine solidaire local de taille 1.

applications

donné une anneau homomorphism , tout idéal premier de Il est tel que Il est tout d'abord. Par conséquent, induit une , qui se révèle être continue dans la topologie de Zariski. Cette étape est compatible avec la composition, en ce sens que si Il est une autre homomorphisme, puis . Dans la langue théorie des catégories, Cela signifie que est un foncteur contravariant à la classe des anneaux commutatifs unitaires à celle des espaces topologiques.

Les propriétés topologiques de la carte Ils sont liés aux propriétés algébriques Par exemple, si il est ouvert puis Vérifiez votre propriété de descente, tandis que si il est écluse puis Vérifiez votre propriété de qui monte.

les parties spectrales

Un espace topologique qui est homéomorphe le spectre d'un anneau commutatif (avec la topologie de Zariski) est dit l'espace spectral. un espace est spectrale si et seulement si elle vérifie les conditions suivantes:[2]

  • Il est compact et ;
  • chaque irréductible fermée a un point générique (qui est la fermeture d'un seul point);
  • il y a une base ouverte compact qui est fermée pour les intersections finies.

Dans le cas de , une base appropriée est donnée par l'ensemble , pour qui varie entre les éléments de En fait, , et Il est homéomorphe au spectre de localisation (Et il est donc compact).

Structure poutre

La topologie de Zariski permet de définir le une structure de faisceau anneaux. La poutre structurelle est initialement défini pour l'ouverture , dans lequel l'anneau est associé , localisation par rapport à la multiplicatif ; en particulier, si , puis et . La carte de restriction à est la carte de localisation.

parce que la formation d'une base, vous pouvez alors définir, pour chaque ouverture de , comme limite directe de , avec (c.-à- ).

le pic dans le premier Il se révèle être l 'boucle locale ; Par conséquent, Il est un espace annelé localement.

Lien avec la géométrie algébrique

si est un algébriquement clos, la Théorème des zéros de Hilbert dit que l'ensemble des idéaux maximaux de 'anneau des polynômes Il est en correspondance avec les points espace affines taille sur , tandis que chacun des autres topologie de Zariski fermé correspond à une sous-variétés algébriques ; en particulier la variété est irréductible si et seulement si elle est induite par un fermé irréductible. Cette correspondance est étend alors à tout autre variété affines sur , le remplacement de l'anneau des polynômes l'anneau des fonctions régulières sur la variété, dont le spectre peut alors être considéré comme un « enrichissement » de la variété.

La langue de régimes embrasse ce point de vue: un schéma similaire Il est en effet défini comme un isomorphe espace annelé localement pour une bague , équipé de la poutre structurelle définie ci-dessus, et établir une équivalence entre la contravariant catégorie des anneaux commutatifs unitaires et que des systèmes similaires. Un modèle est alors défini comme un espace annelé localement qui peuvent être couverts par une famille d'ouverture, dont chacun est un système de affines. Ceci permet de généraliser les méthodes de la géométrie algébrique pour inclure des champs qui ne sont pas algébriquement clos et même les objets qui ne sont pas définies sur un champ (telles que ).

notes

  1. ^ à b (FR) William J. Lewis, Le spectre d'un anneau en Septembre Ordonné partiellement, en Journal of Algebra, vol. 25, nº 3, 1973, pp. 491-434, DOI:10.1016 / 0021-8693 (73) 90091-4. Récupéré le 31 Octobre, 2013.
  2. ^ (FR) Mel Hochster, Prime structure idéale dans les anneaux commutatifs, en Transactions de l'American Mathematical Society, vol. 142, 1969, p. 43-60, DOI:10,1090 / S0002-9947-1969-0251026-X. Récupéré le 1er Novembre 2013.

bibliographie

  • (FR) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction à l'algèbre commutative, Westview Press, 1969 ISBN 0-201-40751-5.
  • (FR) Irving Kaplansky, anneaux commutatifs, L'University of Chicago Press, 1974 ISBN 0-226-42454-5.
  • (FR) Qing Liu, Géométrie algébrique et courbes arithmétiques, Oxford University Press, 2002 ISBN 0-19-850284-2.
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