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en mathématiques, en particulier algèbre abstraite, un anneau est un structure algébrique Il se compose d'un ensemble dont deux sont définies opérations binaires, appel somme et produit, indiqué avec respectivement et , qui aiment des propriétés similaires à celles vérifiées par entiers. L'examen d'une partie les des mathématiques est appelée la théorie des anneaux.

définition formelle

l'ensemble , Il dispose de deux opérations binaires et , est un anneau si les propriétés suivantes:

est un groupe abélien avec l'élément neutre :

  • il existe un élément que
  • pour chaque il existe un élément que

est un semigroupe:

La multiplication est distributif que la somme de:

Les rapports devraient appliquer à tous , et en .

En ce qui concerne les chiffres, le symbole pour la multiplication, il est souvent omis.

Souvent, les anneaux sont conçus pour posséder des propriétés supplémentaires: si la multiplication est commutative, il est dit anneau commutatif, il admet une élément neutre (Indiqué généralement en ; à savoir est un monoid) Ensuite, la bague est unitaire; alors si l'anneau est commutative et il n'y a pas Intercalaires (Autrement dit, si alors au moins l'un des et il est ) Il est en présence d'un domaine solidaire.

un corps Il est un anneau avec une unité dont les éléments non nuls ont inverse multiplicatif. un terrain Il est un anneau commutatif unitaire dont les éléments non nuls ont inverse multiplicatif, à savoir un corps commutatif. L'exemple le plus important du corps non-commutative est le corps de quaternions, tandis que les ensembles (nombres rationnels) (reals) et (nombres complexes) Sont des exemples de domaines.

Parfois, la définition de l'anneau est légèrement différent. Le plus important de ces différences est la demande que l'anneau possède aussi l'unité: parmi les mathématiciens qui adoptent cette définition sont Bourbaki[1] et Serge Lang[2]. Dans ce cas, de se référer à la structure présentée ici comme un anneau, le terme est utilisé pseudoanello. D'autres auteurs ne nécessitent pas l'associativité du produit [3].

Exemples

L'exemple le plus élémentaire de la structure cyclique est l'ensemble de entiers, équipé avec les opérations habituelles de somme et le produit. Un tel anneau est commutatif et est intègre. L'ensemble des nombres naturels à la place, il est pas un cycle, car il n'y a pas l'inverse par rapport à l'addition.

De même, l'ensemble de polynômes avec la variable et les coefficients dans un anneau former un cycle avec les opérations habituelles de somme et de produit de polynômes. Un tel anneau hérite de nombreuses propriétés de celles de , tel que commutativité et l'absence de 0. De plus, les séparateurs ensemble tout fonctions d'un ensemble à un anneau former un autre cycle avec les opérations habituelles de fonctions de somme et de produits entre de point à point, défini comme suit:

Une bague non commutative est l'anneau au lieu des matrices (avec ) À des valeurs dans un anneau (Indiqué par ), Les opérations de somme et le produit de matrices. En général, cette bague possède également les diviseurs de zéro. Par exemple, dans rapports vaut:

et

Basic Theorems

Étant donné que les axiomes, vous pouvez en déduire immédiatement que pour chaque et dans un anneau :

Et si l'anneau Il est unitaire, puis

  • l'unité est unique,
  • si et avoir inverse par rapport au produit,
  • si puis l'anneau est formé par un seul élément,

Un autre théorème important qui ne nécessite pas l'existence de l'unité, est théorème de binôme:

valable pour chaque paire d'éléments et qui commutent (à savoir, de telle sorte que ).

substructures

un sous-anneau une bague est un sous-groupe de qui est fermé par rapport au produit. En d'autres termes, Il est un sous-ensemble non vide de , et si et Je suis , alors même et Je suis . Étant donné que les axiomes énumérés ci-dessus encore appliquer à , aussi est un cycle par rapport aux opérations et de . Ce sera facile de construire d'autres exemples:

  • Les entiers divisible par Je suis un sous-anneau de .
  • Les nombres rationnels avec dénominateur impair d'un sous-anneau .
  • L'ensemble des nombres réels de la forme avec et des nombres entiers est un sous-anneau de .
  • la entiers gaussiennes en , où et sont des nombres entiers, est un sous-anneau de .
  • Les polynômes le type Je suis un sous-anneau de .
  • L'ensemble des fractions dyadiques Il est un sous-anneau de nombres rationnels.

Un spécial est le sous-anneau centre une bague : Elle comprend tous les éléments que l'interrupteur (multiplicativement) avec un élément quelconque de . Elle coïncide avec l'anneau entier si et seulement si Il est un anneau commutatif.

D'un sous-anneau de et un sous-ensemble , vous pouvez construire le plus petit contenant sous-anneau et : Il est indiqué par , et il est égal à toutes les combinaisons des éléments de au moyen d'opérations de cycle. Cette opération est appelée bagues d'extension, et il est « de type fini » si Il est terminé.

idéal

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Idéal (mathématiques).

Souvent, cependant, au lieu de cette structure que vous préférez utiliser que plus forte, idéal: Il est défini dans un anneau commutatif comme un sous-anneau particulier de telle sorte que tous les produits , où Il est un élément annulaire et Il appartient à l'idéal, ils sont encore des éléments de l'idéal. Cependant, si l'anneau est pas commutative, il est nécessaire de faire la distinction entre les idéaux droit et prétentionsLes premiers sont ceux tels que Il appartient à l'idéal pour chaque et dans l'idéal dans le noyau, alors que pour celui-ci, de la même façon, Il appartient à l'idéal. Si un idéal est à la fois à droite et à gauche, il est dit recto-verso ou bilatéral.

L'importance de cette structure réside dans le fait que la noyau un omomorfismo entre deux anneaux, il est toujours un idéal bilatère , et que, d'un idéal recto-verso vous pouvez construire le 'anneau quotient . De plus, la présence de l'anneau idéal permet d'établir des propriétés importantes: il est en fait une terrain si et seulement si elle est dépourvue d'idéal non trivial (ie, différent de jeu et l'anneau lui-même).

En fonction de la relation d'un idéal avec le reste de l'anneau, sont possibles d'autres spécifications: un idéal premier est un idéal de telle sorte que, pour chaque produit, ab qui appartient à , au moins l'un des et appartient à (Le nom vient de la similitude de cette définition avec lemme d'Euclide en ce qui concerne Les nombres premiers); Si, au contraire, il n'y a pas idéal « intermédiaire » entre et (Autrement dit, si le seul idéal contenant il est lui-même) est appelé idéal maximal. Ces deux types d'idéaux sont particulièrement importants par rapport à leurs quotients: dans un anneau commutatif, en fait, est premier ssi est un domaine solidaire, tandis que si l'anneau est également unitaire Il est maximal si et seulement si est un terrain. Cela implique également que, dans un anneau commutatif unitaire, chaque idéal maximal est de premier choix.

la lemme Krull (Dont la preuve est basée sur la lemme de Zorn) Indique que tout anneau unitaire comporte au moins un idéal maximal; si elle en a un, le cycle est déclaré local. L'ensemble des idéaux premiers d'un anneau commutatif former la soi-disant spectre de .

éléments inversibles

un élément une bague avec unité est renversement s'il y a un que .

Les éléments inversibles d'un anneau sont souvent appelés unité. Normalement, il est le contexte qui le rend clair si vous parlez d'unité comprise comme l'élément neutre multiplicatif ou unités prévues comme élément réversible.

L'ensemble des éléments inversibles en Il est généralement décrit comme . l'ensemble forme un groupe opération avec le produit, appelé groupe multiplicatif de .

Par exemple, dans le groupe multiplicatif des entiers est donnée par les deux éléments . Dans un corps ou dans un domaine, le groupe multiplicatif coïncide avec tout l'élément annulaire privé neutre.

homomorphismes

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: bague homomorphisme.

un omomorfismo entre deux bagues et est un fonction qui préserve les opérations, à savoir une fonction de telle sorte que, pour chaque paire d'éléments et de , vous avez et . Les homomorphismes alors conservent en quelque sorte la structure algébrique; Il est particulièrement important d'entre eux sont les isomorphismes, à savoir les homomorphismes bijective, qui peut être considéré comme retenons deux anneaux entièrement isomorphes « égale » pour toutes les propriétés algébriques.

Chaque homomorphisme zéro carte dans le zéro , alors que cela ne se produit pas pour l'unité, même si les deux anneaux sont unitaires: des conditions suffisantes pour que cela se produise est que l'homomorphisme fois surjective ou que le codomain il n'y a pas diviseurs de zéro. la noyau un morphisme est un idéal recto-verso , et vice versa tout idéal est le noyau d'un morphisme: au lieu l 'image de Il est un sous-anneau de . Les homomorphismes conservent aussi une certaine mesure, sous-structures: l'image d'un sous-anneau est un sous-anneau, tandis que l'image d'un idéal est une image idéale de , mais pas nécessairement .

Un rapport très important est le théorème fondamental de homomorphisme, qui vous permet de trouver isomorphismes depuis les homomorphismes si Il est un morphisme entre et et est son noyau, puis le quotient Il est isomorphe à l'image .

A surjective homomorphisme peut être considéré comme une saillie d'un anneau de son quotient (où est le noyau); un injective homomorphisme, cependant, peut être considérée comme une inclusion d'un autre cycle, parce que, pour le théorème de homomorphisme, existe dans l'image codomain à isomorphe , qui alors il peut être considéré comme égal à . si est un champ, en outre, tous les homomorphismes non nuls sont injective, car les idéaux sont les seuls banal.

produit direct

la produit direct deux bagues et est le produit cartésien avec des opérations définies terme à terme:

Cette nouvelle forment ensemble un cycle, dans laquelle le est le couple . Plusieurs propriétés de ce nouvel anneau peuvent être déduites des propriétés des anneaux de départ: est commutative si et seulement si elles sont les deux facteurs, alors que si et Ils sont alors unitaire Il est l'unité de . Une propriété qui ne passe pas à la place du produit est l'absence de zéros de diviseurs: en fait le produit Il est toujours égal à , bien que et pas de zéro. Cela implique que le produit direct des champs est jamais un champ, à moins qu'on ne se réduit pas seulement .

Cette définition peut être étendue naturellement au produit cartésien anneaux.

les éléments des premier et irréductibles

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Factorisation (théorie cyclique).

Dans un domaine intégré que vous pouvez dans étudier la factorisation d'un élément donné (non réversible). Dans ce contexte, la définition de divisibilité Il étend naturellement le cas d'un domaine: scissions s'il existe un élément que . si Il est réversible, et vous dites associé.

Deux définitions apparaissent naturellement dans cette étude:

  • un élément il est irréductible si, chaque fois qu'il , alors soit ou Il est réversible;
  • un élément il est premier si, divise le produit , puis divise au moins l'un des et .

en , ces deux définitions sont équivalentes, mais ce n'est pas vrai en général: les premiers éléments sont irréductibles, mais irréductibles ne sont pas toujours en premier. Par exemple, dans l'anneau

Il est irréductible mais pas premier, car il divise le produit , mais il divise ni un facteur ni l'autre.

Cependant, cette deuxième implication est, vérifiée anneaux factorisation uniques, ou dans ces anneaux, dans lequel, étant donné deux factorisations dans irréductible

puis , et tous les Elle est associée à une . Dans tous les domaines de factorisation uniques sont les plus grand commun diviseur et commun multiple entre chaque paire d'éléments.

Anneaux avec des propriétés encore plus sont anneaux principaux idéaux et anneaux euclidiens, dans lequel il est possible d'effectuer la division euclidienne comme dans l'ensemble. Ces derniers appartiennent également à la classe des anneaux de polynômes , où est un terrain.

notes

  1. ^ (FR) Éléments de mathématiques, vol. II Algebra, Ch. 1, Springer
  2. ^ (FR) Algèbre, 3e édition, Springer, ch. II
  3. ^ (FR) https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Non-associative_rings_and_algebras

bibliographie

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algèbre - une approche algorithmique. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0

Articles connexes

  • Histoire de la théorie des anneaux
  • anneaux Théorie
  • Idéal (mathématiques)
  • anneau commutatif
  • Pseudoanello
  • demi-rondelle
  • intégrité de domaine
  • Terrain (mathématiques)
  • Structure algébrique

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