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en mathématiques, et plus précisément dans algèbre, la radical (ou nilradicale) parfait un anneau commutatif est le 'idéal formé par l'ensemble des éléments formant le cycle dont il est possible de trouver une puissance contenue dans ou, de manière équivalente dans un anneau commutatif unitaire comme l'intersection de tous idéaux premiers contenant . Un idéal qui coïncide avec son radical est appelée idéal radical.

le radical , notée ou , Il est un idéal radical contenant et, plus précisément, il est l'idéal le plus petit radical .

Le radical de l'idéal anneau il est dit radical (ou nilradicale) de , et il est souvent désigné par .

Le reste d'un idéal est très étroitement liée à la géométrie algébrique par théorème des zéros (Ou "Nullstellensatz") de Hilbert, qui stipule que si est un algébriquement clos, les idéaux de radical "anneau des polynômes Je suis une correspondance avec des ensembles de algébrique espace affines .

définition

les deux un idéal un anneau commutatif . la radical de la Il est l'ensemble

Il est en effet un idéal, comme

pour chaque
si , puis

De manière équivalente dans un anneau commutatif unitaire, le radical de Il est l'intersection de tous idéaux premiers contenant : Si , puis pour tout idéal premier , et alors ; À l'inverse, si pour chaque premier contenant idéal , alors l'ensemble des idéaux qui contiennent mais ne contiennent pas de puissance de admet un élément de plafond (grâce à lemme Krull), Qui peut se révéler être le premier, contre l'hypothèse selon laquelle Il était contenu dans tous les idéaux premiers contenant .

En particulier, le nilradicale de , ou le radical du zéro idéal, coïncide avec l'intersection de tous les idéaux début .

propriété

La deuxième caractérisation du radical est utile pour l'analyse du comportement par l'intermédiaire de homomorphismessi est un morphisme dont noyau Elle est contenue dans , puis ; en particulier, si Il est la projection canonique, est l'image inverse du reste de zéro idéal dans , ou le radical . En particulier, est un idéal radical si et seulement si est un anneau réduit.

De plus, cette caractérisation implique qu'un idéal premier contient si et seulement si elle contient : Il en résulte que (Parce qu'ils sont l'intersection des éléments d'un même ensemble) et, en outre, que la position fermée défini par et en topologie de Zariski la spectre de bague coïncident.

D'autres propriétés se lient radical aux transactions entre idéaux:

bibliographie

  • (FR) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction à l'algèbre commutative, Westview Press, 1969 ISBN 0-201-40751-5.

Articles connexes

  • Jacobson radical
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