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en algèbre abstraite, l 'Frobenius endomorphisme est un spécial anneau homomorphism, seulement défini pour anneaux avec caractéristique positive. Il est nommé Ferdinand Georg Frobenius. Sa définition est basée sur un théorème qui stipule que:

si est un anneau commutatif caractéristique , avec premier numéro, puis , pour chaque et appartenant à .

à savoir que l'application

préserve l'opération de somme. Après tout, il satisfait également des propriétés et , il est donc caractérisé comme endomorfismo de en elle-même et est par conséquent ladite Frobenius endomorphisme.

du théorème

pour la théorème de binôme la peine

mais si , le coefficient Il contient le facteur et donc en fonction Il est égal à 0. Par conséquent, il ne reste que les conditions définitives de l'expansion, à savoir et .

Exemples

  1. les deux un anneau avec deux caractéristiques:
    et
    Étant un cycle avec deux caractéristiques pour les propriétés de 'arithmétique modulaire nous avons:
  2. les deux un cycle avec 3 caractéristique:
    et
    Étant un cycle avec 3 caractéristique, pour les propriétés d'arithmétique modulaire, nous avons:
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