19 708 Pages

en algèbre, un anneau factoriel (ou anneau unique factorisation; souvent raccourcie UFD, Anglais Unique factorisation de domaine) Il est domaine dans lequel applique un analogue de théorème fondamental de l'arithmétique, ou dans laquelle chaque élément peut être écrit d'une manière unique comme produit de des premiers éléments, De même à ce qui se passe pour entiers et sa ventilation nombre premier.

définition

un domaine solidaire A est un anneau factoriel si chaque élément x de A non nul et non renversement Il peut être écrit comme le produit de éléments irréductibles

et cette représentation est unique, Nell'accezione: si q1,...,qm sont des éléments irréductibles de A de telle sorte que

puis m = n et il y a un une correspondance φ: {1, ...,n} -> {1, ...,n} Tel que pla et qφ (la) ils sont associé, pour chaque la = 1, ..., n; à-dire, moins de réarranger les facteurs, , où ula Il est un élément inversible de l'anneau.

Sinon, A Il est un domaine de factorisation unique si chaque élément est pas produit réversible des premiers éléments: Dans ce cas, l'unicité est déjà garanti par les propriétés des premiers éléments. Une caractérisation supplémentaire équivalent qui utilise des premiers éléments a été démontrée par Irving Kaplansky: Un domaine est un UFD si et seulement tous les idéal premier Il contient un premier élément.

Exemples

Un premier exemple est donné par champs, que le champ de nombres rationnels ou royauté Dans ce cas, tous les éléments non nuls sont renversement, puis tous sont factorisation trivial. Un exemple plus intéressant est l'anneau de entiers (Merci à théorème fondamental de l'arithmétique).

Des exemples importants sont les anneaux K[X1,...,Xn] Du polynômes avec des coefficients dans un champ K et K[[X1,...,Xn]], L'anneau de séries formelles.

Plus généralement, tout anneau principal et tous les domaine euclidienne est factorisation unique.

Parmi les anneaux entiers algébriques, l'anneau de entiers gaussiennes est une factorisation unique en (Qui comprend tous les nombres complexes du type , où à et b sont des nombres entiers) il n'est pas, parce que 6 est pris de deux façons différentes, telles que et , et ces quatre facteurs sont irréductibles non équivalentes.

propriété

Dans un domaine unique factorisation, les notions de premier élément et élément irréductible coïncident; plus précisément, un domaine A est un UFD si et seulement si elle est atomique (Par exemple si chaque élément peut être écrit sous la forme d'un produit d'éléments irréductibles), et si les premiers éléments et coïncident irréductible.

Chaque paire (ou ensemble fini) d'éléments en A Il a plus grand commun diviseur et commun multiple, défini de façon similaire à ce qui se passe dans l'ensemble; ceux-ci peuvent être obtenus à partir de la factorisation. De l'existence des diviseurs comun maximale suit que chacun est UFD intégralement fermé; Ce critère peut parfois être utilisé pour montrer que certains liens pas Ils sont factorisation unique.

La propriété à factorisation unique est préservée grâce à la anneaux polynôme, ou A Il est un UFD si et seulement si A[X] Est un UFD. à induction, aussi les anneaux A[X1, ..., Xn] Sont factorisation uniques: par exemple, cela se produit pour l'anneau K[X1, ..., Xn] Des polynômes à coefficients dans un champ. à n > 1, ce dernier cas est un exemple de UFD qui ne doit pas idéaux principaux; plus généralement, un UFD est le principal idéal si et seulement si son dimension Krull est 0 ou 1.

Au lieu d'anneaux polynôme, on dit que si A est une factorisation unique, il a aussi l'anneau de séries formelles A[[X]]; un cas particulier (mais important) dans lequel cette propriété est vrai lorsque se produit au lieu A=K Il est un champ. De manière plus générale, si A est un anneau lisse factorisation unique, même A[[X]] Il est un UFD régulier.

bibliographie

Articles connexes

fiber_smart_record Activités Wiki:
Aidez-nous à améliorer Wikipedia!
aller