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en mathématiques, la caractéristique un anneau Il est défini comme étant le plus petit nombre naturel différent de zéro de telle sorte que l'élément

Il est égal à zéro. Si ce minimum n'existe pas, qui est, si est toujours différent de zéro, la fonction est par définition.

De nombreux résultats importants de 'algèbre linéaire ou la géométrie algébrique exiger que l'anneau ou la terrain utilisé dans la théorie est de caractéristique nulle. La présence d'une caractéristique différente de zéro peut conduire à des phénomènes qui entrent en collision avec l'intuition géométrique. D'autres résultats exigent que l'anneau ou le champ ne pas caractéristique .

propriété

Caractéristique d'un élément

Plus généralement, la caractéristique d'un élément Il est le plus petit que

est égale à zéro. Selon cette définition, on peut définir l'anneau caractéristique comme commun multiple des caractéristiques de ses éléments.

Si l'anneau est domaine solidaire, chaque élément différent de zéro a la même caractéristique.

premier numéro

Dans les domaines de l'intégrité, la fonction est ou premier numéroLa seule exception est l'anneau trivial (constitué d'un seul élément ) Ce qui est le seul domaine avec caractéristique .

bague terminé

Un anneau avec un nombre fini d'éléments a toujours été une caractéristique différente de zéro.

, Morphismes sous-anneaux

si est un sous-anneau de , Il a la même fonction .

De manière plus générale, si et sont des anneaux et est un anneau homomorphism, alors la caractéristique de divise celle de .

endomorfismo Frobenius

Si la caractéristique d'un anneau est un nombre premier , puis

pour tous les éléments en . la carte

est donc un endomorfismo anneaux, appelés Frobenius endomorphisme. voici l'injection si Il est un domaine intégral.

Exemples

Les champs complexes rationnel, réel,

champs , et de nombres rationnels, royauté et nombres complexes Ils ont zéro caractéristique.

finis Anneaux

Un anneau avec un nombre fini d'éléments est de caractéristique différente de zéro. Par exemple, l'anneau tout cours de repos forme , Il a une fonction .

nombres p-adique

la nombres p-adique la formation d'un champ caractéristique zéro, bien que leur construction utilise un anneaux caractéristiques de la famille avec tendant vers l'infini.

Caractéristique d'un champ

Comme indiqué plus haut, la caractéristique d'un champ Il est égal à zéro ou un nombre premier. La zone minimale parmi tous ceux qui contiennent l'unité Il est un sous-corps dont elle dépend de la caractéristique: si elle est égale à zéro, est isomorphe au corps Le nombre de rationnels. Si vous , Il est isomorphe à un champ fini.

Il y a un nombre infini de champs caractéristiques , par exemple clôture algébrique de .

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