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en mathématiques, en particulier algèbre, un boucle locale est un anneau avec un seul idéal plafond (droite ou gauche).

Les boucles locales sont équipées avec des caractéristiques spéciales, qui sont utiles pour décrire le comportement local des fonctions définies sur variétés algébriques. Le concept de la boucle locale a été introduite par Wolfgang Krull en 1938 sous le nom de Stellenringe[1]. Le mot anglais anneau local (D'où l'italien) est due à Zariski[2] .

définition

Un anneau Il est dit anneau local si elle possède l'une des propriétés suivantes équivalentes les unes aux autres:

  • Il a une expérience unique idéal plafond à droite ou à gauche;
  • , et la somme de deux éléments ne le font pas renversement Il n'est pas réversible;
  • , et un élément donné , Il est réversible ou Il est réversible;
  • si une somme finie des éléments annulaires est inversible, puis il est au moins un des opérandes;
  • pas deux idéaux revendications et coprime, à savoir de telle sorte que .

Certains auteurs exigent également que l'anneau est noetherian, appel le plus local les anneaux qui possèdent les propriétés mentionnées ci-dessus.

propriété

Pour un anneau local a les propriétés suivantes:

  • dans une boucle locale, ce qui est idéal plafond droite coïncide avec la gauche;
  • pas des éléments inversibles forment un propre idéal;
  • tous champs sont des anneaux locaux, est leur seul idéal et est évidemment plafond.

Anneau des germes de fonctions

Considérons l'ensemble des fonctions réelles continues en valeurs royauté définie sur un rond de et les éléments suivants relations:

La relation ci-dessus est équivalence; la équivalence ils sont appelés germes fonctions . Il est possible d'une manière naturelle à définir une addition et une multiplication entre les germes, de façon à former un anneau commutatif:

est le germe à laquelle appartient la fonction

Les éléments annulaires sont des germes inversibles dont les représentants sont des fonctions non nulles dans la source: ; la somme des deux germes non-inversibles est pas inversible, donc l'anneau ainsi obtenu est limite locale et son idéal est constitué par les germes de fonctions vides dans la source.

Avec cette construction, il est possible d'identifier deux fonctions qui coïncident sur tout voisinage ouvert zéro: la boucle formée par la fonction contient les germes sur le comportement local des informations de fonction, est ici le terme local d'identifier ce type d'anneaux.

Cet argument peut être étendu à beaucoup d'autres structures mathématiques, telles que:

  • fonctions réelles continues sur tout espace topologique;
  • fonctions différentiables sur un différentiables;
  • rationnelles fonctions d'une variété algébrique.

En particulier, il est possible d'étendre le concept de variété algébrique via le concept de plan, ou un espace équipé d'une structure particulière de la boucle locale.

D'autres exemples de boucles locales

  • l'anneau de nombres rationnels dénominateurs impair Il est local; son plafond idéal est formé par fractions avec dénominateur du numérateur pair et impair;
  • l'anneau de séries formelles sur un terrain, il est local; son plafond idéal est formé par la série de puissance sans terme connue;
  • étant donné un champ et , l'anneau de quotient Il est local; son plafond idéal est formé par polynômes aucun terme connu.

anneaux locaux commutative

Cela dit le seul plafond de la boucle locale idéale , la boucle locale elle-même est généralement écrite comme . Il est possible d'équiper la boucle locale d'un topologie que topologie -Adica, qui présente en tant que base pour les quartiers les pouvoirs de l'idéal . terrain il est dit domaine des résidus de .

homomorphismes anneaux locaux

deux anneaux locaux de données et , un homomorphisme d'anneaux locaux est un anneau homomorphism par quoi , ou pour lequel Elle est continue selon les topologies décrites ci-dessus.

notes

  1. ^ (DE) Wolfgang Krull, Dimensionstheorie à Stellenringen, en J. Reine Angew. Math., vol. 179, 1938, p. 204.
  2. ^ Oscar Zariski, Les fondements d'une théorie générale de birationnelles Correspondances, en Trans. Amer. Math. Soc., vol. 53, nº 3, American Mathematical Society, mai 1943, pp. 490-542 [497], DOI:10,2307 / 1990215, JSTOR 1990215.

Articles connexes

liens externes

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