19 708 Pages

en mathématiques, en particulier algèbre commutative, un anneau Cohen-Macaulay est un anneau commutatif unitaire noetherian de telle sorte que, pour chaque idéal maximal , la profondeur et dimension Krull de localisation Ils sont égaux. La classe d'anneaux Cohen-Macaulay contient en tout anneaux réguliers et anneaux Gorenstein.

Ils sont nommés par Francis Sowerby Macaulay et Irving Cohen, qui a montré le théorème inhomogénéité respectivement pour anneaux polynôme (Macaulay, 1916) et des anneaux de séries formelles (Cohen, 1946).

définitions équivalentes

les deux un anneau commutatif de noetherian unitaire. est Cohen-Macaulay si son dimension Krull coïncide avec son profondeur, ou s'il y a un succession régulière de longueur égale à la dimension de Krull . Cela équivaut à exiger que la profondeur de chaque idéal coïncide avec son hauteur. homologiquement, cela équivaut à exiger que pour , où indique le foncteur Ext et Il est le domaine des résidus .

si Il n'est pas local, est dit Cohen-Macaulay si est un anneau de Cohen-Macaulay, ou de façon équivalente, si pour chaque parfait de .

Exemples

Tous les anneaux noethériens de dimension 0 (c.-à- anneaux Artinian) Y Cohen-Macaulay (comme la profondeur est un nombre entier compris entre 0 et la taille de l'anneau). Déjà en dimension 1, il existe des bagues qui ne sont pas de Cohen-Macaulay: un exemple est l'anneau , qui a une dimension et une profondeur 0.

tous domaines d'intégrité hauteur noetherian 1 sont Cohen-Macaulay, ainsi que les domaines d'intégrité intégralement fermé de la taille 2. Bien que ces résultats ne peuvent pas être étendus dans des dimensions plus élevées: en fait exister des domaines d'intégrité de taille 2 et domaines intégralement fermés de taille 3, qui ne sont pas de Cohen-Macaulay.

tous anneaux réguliers sont des anneaux de Cohen-Macaulay.

tous anneaux Gorenstein sont des anneaux de Cohen-Macaulay.

propriété

chaque localisation d'un anneau Cohen-Macaulay est encore à Cohen-Macaulay; Cependant, la propriété d'être Cohen-Macaulay n'a pas été respectée par le passage au quotient. Si, toutefois, Il est Cohen-Macaulay et est un idéal généré par un succession régulière, puis Il est encore Cohen-Macaulay.

Un anneau noethérien Il est Cohen-Macaulay si et seulement si elle est le 'anneau des polynômes , ou si elle est le 'anneau des séries formelles .

En outre, un anneau local est Cohen-Macaulay si et seulement si elle est son achèvement -adique.

Une autre condition équivalente à un anneau de Cohen-Macaulay est donnée par théorème inhomogénéité, qui stipule que Il est Cohen-Macaulay si et seulement si, pour tout idéal généré par éléments, tous les premiers associés Ils ont la même hauteur.

Une propriété importante des anneaux Cohen-Macaulay est que si est un idéal premier de , puis tout chaînes descendants saturés d'idéaux premiers ont la même cardinalité. Cela montre en particulier que si Elle est locale et Cohen-Macaulay puis pour tout idéal premier , ou que pour chaque premier .

bibliographie

Articles connexes

liens externes

fiber_smart_record Activités Wiki:
Aidez-nous à améliorer Wikipedia!
aller