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en mathématiques un anneau de Boole (R,+,·) Il est anneau unitaire pour lesquels x2 = x pour chaque élément x de son soutien R. En d'autres termes, il est un cycle formé uniquement par des éléments idempotent.

anneaux booléens sont des structures criptomorfe (Ie logiquement équivalent) à algèbres de Boole. L'exemple le plus connu est fourni par 'pièces Vue d'ensemble de tout ensemble X, où l'addition cyclique est l'opération ensembliste différence symétrique et la multiplication est l 'intersection.

Cryptomorphisme avec algèbre de Boole

Étant donné un anneau de Boole (R, +, ·), nous définissons

xy : = x · y,
xy : = x + y - xy,
~x = 1 + x .

La structure (R, ∨, ∧) satisfait à toutes les axiomes de 'algèbre de Boole, où les opérations ∨, ∧ et ~ ont resp. jonction rôles, se rencontrent et complémentation. De cette façon, dans chaque anneau booléenne est associé à une algèbre booléenne.

Inversement chaque algèbre de Boole est associé à un anneau définissant booléenne:

x · y : = xy,
x + y : = (xy) ∧ ~ (xy).

Morphismes et substructures

Une application entre deux anneaux booléens sont dits anneau homomorphism si transporté entre les correspondants algèbre de Boole est un morphisme entre ces structures.

Un sous-ensemble d'un anneau de Boole est dit idéal anneau (Idéal premier anneau, anneau de plafond idéal) ssi Il est un idéal d'ordre (premier idéal ordre idéal ordre maximal) de l'algèbre booléenne.

à anneau quotient un anneau de Boole former un cycle idéal correspond au quotient de la forme de l'idéal d'ordre correspondant treillis booléens treillis correspondant.

quelques résultats

Chaque anneau Boolean R répond x + x = 0 pour tous x en R; En fait, nous savons que

x + x = (x + x)2 = x2 + 2x2 + x2 = x + 2x + x

et nous pouvons soustraire x + x des deux côtés de cette équation. Une démonstration similaire garantit que chaque anneau est booléenne commutative:

x + y = (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y

et cette égalité implique xy + yx = 0, ce qui est équivalent à xy = -yx = yx (Utilisation de la propriété précédente).

l'identité x + x = 0 dit que chaque anneau booléenne peut être associé à une une façon unique 'algèbre associative sur terrain fa2 des deux éléments. En particulier, chaque anneau booléenne fini a comme cardinalité un puissance de deux.

On constate qu'il y a des algèbres associatives de unitali fa2 qui ne sont pas des anneaux booléens: un exemple est donné par "anneau de polynômes fa2[X].

L'anneau de quotient R/la par rapport à un anneau de Boole arbitraire R toute forme idéale la Il est également un anneau booléenne. De même tous les sous-anneau un anneau de Boole est un anneau de Boole.

Chaque idéal premier P un anneau de Boole R est maximale: l 'anneau quotient R/P est un domaine solidaire et en même temps un anneau de Boole; il doit donc être isomorphe au champ fa2 et cela implique la maximalité de P. Étant donné que les idéaux maximaux ne sont pas nécessairement d'abord, il est conclu que chaque anneau booléenne le premier ensemble d'idéaux et des idéaux maximaux coïncident.

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