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en physique et ingénierie, la Théorème de travail virtuel ou principe de travail virtuel stipule que, pour un système en équilibre statique à chaque déplacement virtuel infinitésimale l'espace de phase Elle est associée à une travail mécanique nul. On parle dans ce contexte de travail virtuel, le travail mécanique d'un force par rapport à un infinitésimale de déplacement virtuel (un changement instantané de coordonnées).

Siano la coordonnées généralisées le système et la j-e résultante de les forces agissant dans la direction . Le théorème affirme qu'un changement par rapport à la position d'équilibre est associé à une oeuvre null:

Il est l'œuvre de par rapport au déplacement infinitésimal .

En d'autres termes, le travail accompli par les forces extérieures sur une continue déformée solide Il est égal à celui joué par les forces internes. Le terme « virtuel » signifie que le théorème est valable pour les travaux calculés pour un système donné, les forces externes (forces de surface et en volume) équilibrée avec tensions unitaire, et pour tout champ mouvements en harmonie avec les déformations unitaires résultant mais pas nécessairement dans le système à des forces extérieures appliquées.

Le théorème de travail virtuel peut être étendue à des systèmes discrets de corps (continu) à l'intérieur reliés entre eux.

Le travail virtuel

Etant donné une particule qui se déplace le long d'une trajectoire entre les points et soumis à une force , le travail effectué par il est:

est l'élément infinitésimal de la courbe et Il est la vitesse de .

Les travaux de pour une particule commettre une déplacement virtuel déplaçant le long d'une trajectoire qui est différente pour un changement de , entre les points et il est:

Vous pouvez définir le travail « virtuel » comme la différence:

Les déplacements rigides

Considérons une structure non déformable en équilibre. Sur chaque point l'acte résultant des charges externes, résultant les forces de cohésion et la résultante des forces de réaction de telle sorte que:

L'imposition d'un déplacement infinitésimal la structure, dans le i-ième point se produit que le travail virtuel des forces lors de son voyage il est:

ou .

Etant donné que le déplacement est de type rigide (n'a pas de mouvements relatifs entre les points) pour le principe d'action et de réaction les forces de cohésion Ils sont égaux et opposés les uns aux autres, et par conséquent sont donc leur emploi. La somme est donc rien: . Lorsque l'on considère que les relations bilatérales ne remplissent pas moins de travail friction puis aussi les forces de réaction ne fonctionnent pas de travail, ou . L'équation se réduit ainsi à , à savoir le travail effectué par un système de forces équilibrées dans un déplacement rigide est égale à zéro.

Les déplacements avec déformation de la matière

Tension-sigma-tau-xy-section.png
Epsilon-deformation.png
Gamma-deformation.png

Considérons le cas dans lequel le champ de déplacement conduit à la déformation du corps. Il fait le travail des forces de cohésion ne peut être nulle, et considérant à nouveau de Fourier, nous avons émis l'hypothèse:

à savoir:

Pour démontrer cela, nous considérons les tensions agissant dans le plan xy parallélépipède générique solide cauchy se trouvant dans l'espace cartésien 3 et les composantes connexes de la déformation axiale et angulaire, dans la figure sur le côté.

On peut alors déterminer le travail interne effectué par les forces (tensions multipliées par l 'zone dans lequel ils agissent) dans les déplacements dus à la déformation de 6 composants:

Faire partie de cinématique linéarisé, ou considéré sur une théorie du premier ordre pour lequel vous envisagez de déplacer infinitésimale et coins se rapproche de leur tangent, sera négligé infinitésimales quatrième ordre que tous les termes contenant ou ou ou :

composants , et Ils ne remplissent un travail négligeable à des tensions sur xy et d'appliquer exactement les mêmes considérations faites pour la , et . On peut en déduire que, pour chaque face du travail est donnée par la composante de la tension pour la composante de la déformation associée.

L'expression du travail interne est alors:

Elle exprime le travail externe tel que:

avec , et déplacements; , et sont la résultante des forces de surface des composants, tandis que , et Ils sont les composantes de la résultante des forces de volume.

Vous devez appliquer les équations d'équilibre, l'équilibre et la cohérence solide continue en considérant que , et sont les cosinus directeurs de normal au plan tangent à la surface du solide et rappelant la réciprocité des contraintes tangentielles et des déformations angulaires relatives.

solde:

budget:

cohérence:

Considérons maintenant le premier terme de l'expression du travail externe et remplacer les expressions écrites précédemment:

Maintenant, tournez intégrale de surface dans un intégrale de volume par théorème de divergence:

recueillir les fonctions « par tension de déplacement » et les cosinus directeurs, puis en additionnant la deuxième partie de l'expression d'un travail externe:

Ils rassemblent tout le groupe ensemble, et les termes:

Les trois premiers polynômes entre parenthèses ne sont pas valides:

car ils coïncident avec celles des équations d'équilibre. En remplaçant les autres termes des expressions équations de compatibilité que vous obtenez:

ou l'expression du travail externe est identique à celle du travail interne.

applications

Le théorème peut être utilisé comme un point de départ à travers qui définissent des équations d'équilibre ou de congruence structure. Cela permet de déterminer les forces ou les déplacements en particulier inconnus en utilisant la technique de la force fictive unitaire appliquée dans le même point et à le déplacement recherché.

faisceau plat

pour les systèmes faisceau plane, il est possible de réécrire facilement l'expression du travail interne en termes de déformations et les contraintes. Considérons un système de référence Cartésien dans lequel l'axe x coïncide avec l'axe du faisceau, puis les axes y et z définir le plan sur lequel se trouvent les sections infinies.

Au rez-de-cas, vous avez la force axiale qui correspond à la déformation longitudinale , la flexion qui correspond à la courbure axe du faisceau et contrainte de cisaillement ce qui correspond à une distorsion moyenne de la section . En utilisant les solutions de faisceau De Saint Venant vous:

et

est le taux de cisaillement, ce qui indique la partie de la zone de la découpe de la section de réactif.

Ils remplacent les relations dans l'expression considérant toujours le cas du plan de travail interne:

L'expression peut être démonté en une intégrale de surface sur la section du faisceau et dans une ligne intégrale le long de l'axe du faisceau:

quantités et Ils sont liés par ; est le moment d'inertie de la section et il est par définition:

N, M, T, A, Χ, q, I Ils sont constants dans la section et pour les faisceaux la déformation due à la découpe est négligeable. Il y a donc:

.

Affaissements et les rotations

Vous pouvez en apprendre directement sur l'abaissement de la poutre en un point sans calculer l'équation de l'ensemble de la ligne élastique. Considérons par exemple le cas élémentaire longue poutre se penchant L avec Q. charge uniformément répartie Pour calculer la flèche maximale à mi-portée du principe:

avec (Force unitaire fictif appliqué au milieu et dirigée vers le bas) équilibrée avec et (L'inconnu descente) en harmonie avec . Être à l'aise calculer la courbure exploite la loi constitutive pour laquelle est le module d'élasticité du matériau de la poutre et son moment d'inertie. Il a donc l'expression bien connue de la formule approximative du déplacement:

avec l'équation du moment dû à la seule force appliquée sur la poutre et l'équation du temps par rapport au système actuel et de la charge conforme distribué. Speech analogue au calcul des rotations d'un point de la structure (dans ce cas l'application d'un seul moment dans le point d'intérêt).

pour botte avec des tiges de longueur et la zone Vous pouvez être calculé directement:

structures hyperstatiques

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: hyperstaticité.

Pour résoudre les structures hyperstatiques en plus des équations d'équilibre statique Il est nécessaire, même ceux de congruence qui imposent les déformations au niveau des points correspondant aux contraintes surabondantes considérées. Considérons par exemple le système de stockage supporté avec une charge uniformément répartie (structure hyperstatique 1 fois) et de considérer le support comme lien surabondante. Pour la résolution, il est nécessaire de considérer le régime statique équivalente du plateau de repos avec une charge uniformément répartie et la force vers le haut au lieu de contrainte de manière à imposer que l'abaissement à ce moment est égal à zéro. Cela équivaut à considérer une force unifiée appliquée dans la contrainte directe en montée vers le bas propre . Il a donc l'expression:

avec équation du moment en raison de la simple présence de la charge, à partir de laquelle on peut déduire l'inconnu puis résoudre la structure.

contrainte imposée Affaissement

dans les installations isostatique l'affaissement contraignant , ou des variations de position de contrainte permanente, sont absorbés par les mouvements de corps rigide (rotation ou translation). Dans les structures hyperstatiques la solution à travers VPL est simplement donnée par le précédent rapport maintenant adapté à (Valeur connue). En l'absence de charges que vous avez:

ou la contrainte que subit la structure dépend de sa rigidité flexion:

variations thermiques

Un faisceau soumis à une variation thermique linéaire entre les extrados et intrados subit une déformation le long de la section; la déformation longitudinale est la suivante:

tandis que l'axe de la courbure de faisceau est:

avec la température se réfère à la moyenne centre de gravité de la section, la variation de température entre l'extrados et intrados, la hauteur de la section et la dilatation thermique considéré par les règlements sur 'acier et C.A., égal à 10-5 ° C-1.

Dans la déformation des structures isostatique est libre alors que dans les hyperstatique est bloquée par des contraintes de contraintes donc survenir internes.

Parce qu'il connaît directement la cinématique terme de la déformation des poutres pour les solutions, il ne faut pas calculer l ' en raison de l'action thermique, mais il est considéré comme directement et par rapport à l'application d'une force uniforme dans le point de contrainte surabondante:

Dans le cas par exemple de l'étagère reposant précédent maintenant soumis à une simple variation thermique, il est imposé à soutenir le déplacement de zéro, à savoir:

bibliographie

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