s
19 708 Pages

Chaque organisme ou plus correctement chaque système isotrope en continu, sous réserve d'une sollicitation, vous déforme proportionnellement à l'intensité de la contrainte appliquée, la nature du matériel et d'autres conditions physiques. en général, une déformation élastique est une déformation qui disparaît à la cessation du stress, sinon il a déformation plastique ou permanente. En général, il existe des matériaux qui ont pratiquement seulement une déformation plastique et élastique des matériaux qui sont à une certaine valeur de la contrainte, après quoi elle a plasticité jusqu'à la pause.

Aussi, nous pouvons définir la déformation comme homogène, puis chaque élément de volume du système en continu est déformé de la même façon quelle que soit sa position, et non homogène, si des éléments identiques de volume du corps sont déformées dans une manière différente en fonction de la position.

élasticité

Il dit une déformation élastique, en général petite, qui disparaît à la cessation du stress. La discussion d'élasticité suppose que certaines hypothèses sont acceptées:

  • que le corps est en équilibre sous l'action des forces appliquées;
  • que les débattements sont proportionnelles aux déplacements (dans ce cas, on parle d'élasticité linéaire);
  • que les déplacements sont des fonctions infinitésimales et régulières dans le voisinage du point considéré.

L'exemple plus explicatif est d'envisager un cylindre métallique de longueur , diamètre des surfaces de base . Si ladite éprouvette cylindrique est soumise à deux forces traction opposées appliquées sur l'axe longitudinal peut être observé:

  • pourcentage de déformation axiale, la déformation de sa longueur:
  • pourcentage de déformation latérale, une déformation relative de la largeur:
  • Ces déformations peuvent être regroupées dans un volume de déformation plus générale:

où clairement , et sont une fois le stress appliqué les nouvelles dimensions de l'éprouvette en équilibre.

Un autre type de déformation, twist, qui elle est due à l'application d'un torque, On observe une rotation autour de l'axe longitudinal de l'éprouvette. Ce type de déformation ne donne pas lieu à une variation de taille et est donc appelé façonner la déformation.

Une autre forme est que la déformation de ladite découpe ou déformation de glissement, suivant l'application d'un couple de forces, par exemple à deux bases d'un cube. Dans ce cas, la variation de la forme de cube crée un angle des faces latérales:

En général, pour les petites déformations, les corps suivent la La loi de Hooke. Les types de déformation sont présentés ci-dessous.

homogènes déformations élastiques

  • déformation axiale (compression ou traction):

est le module d'élasticité ou le module de Young.

  • Déformation latérale:

La déformation latérale est proportionnelle à la direction axiale:

est le le coefficient de Poisson.

  • Volume Deformation:

est ledit module de compressibilité.

  • glissement ou de coupe Déformation

Dans ce cas, il forme un angle suivant l'application d'un couple le volume de l'élément, quantifiable comme:

il est dit module de rigidité.

déformations élastiques non homogènes

  • twist

Enfin, nous considérons la twist qui a lieu à l'application d'un axe des temps parallèle de symétrie:

est ledit module de torsion.

Le tenseur des déformations

Considérons un point (Par exemple, coordonnées cartésiennes À trois dimensions ) De isotrope système continu non déformé et un autre point (En c.c.3D ) Loin de d'une petite étendue suffisamment (En coordonnées cartésiennes ). En conséquence d'un point de déformation Il entrera en le long de (En c.c.3D ) et Il entrera en , d'une petite étendue suffisamment (En c.c.3D ). En pratique, le transporteur (Dans c.c.3D correspond à: ) Deviendra (En c.c.3D ). Par exemple, les coordonnées cartésiennes n dimensions:

Nous pouvons exprimer ces relations sous forme de matrice dans laquelle il y a une matrice des dérivées partielles dudit matrice de déformation . Si c.c.3D:

alors la matrice de déformation est dans ce cas de c.c.3D:

et avec cette définition, l'équation de déplacement dans c.c.3D peut implicitement être réécrit sous forme matricielle:

Cette équation fait vaut beaucoup plus générale, et plus particulièrement dans tous les système de coordonnées orthogonal en n dimensions. L'équation des déplacements dans un système orthogonal général peut être écrit sous la forme tenseur:

qui est, en adoptant la notation Einstein:

En général, en fait, il définit le tenseur des déformations:

ou dans la notation d'Einstein:

Le tenseur des déformations est générique et non lié au système de coordonnées adopté; tenseur comporte la représentation d'une matrice particulière plutôt que l'autre, selon le système choisi de coordonnées (cartésiennes 2D, 2D polaire, cartésien 3D, 3D cylindrique, sphérique 3D, etc.).

De cette façon, l'équation de déplacement peut être exprimé sous une forme tensorielle générale, qui ne dépend pas du système de coordonnées choisi:

ou dans la notation d'Einstein:

Maintenant, un théorème général du calcul du tenseur indique que tout tenseur peut être décomposé en un tenseur symétrique comme un tenseur antisymétrique . En coordonnées cartésiennes en trois dimensions, par exemple:

la tenseur symétrique Il décrit les déformations comme suit:

  • expansions ou allongements relatifs, représentés par les éléments de la diagonale principale:
  • défilement, ou des distorsions, représentés par les éléments hors de la diagonale principale:

la tenseur antisymétrique Au contraire, il décrit la rotations rigide dans le voisinage du point P, qui n'est pas une déformation. Par exemple, en trois dimensions coordonnées cartésiennes:

Il représente la rotation autour de l'axe z, dans le voisinage du point P.

La trace du tenseur des déformations, égale à divergence le déplacement, est invariante et est appelé coefficient de dilatation cubique:

.

Il représentenabla. En coordonnées cartésiennes, par exemple, la forme explicite est invariant:

effort

Pour savoir ce qui se passe à l'intérieur du corps sujet à souligner que nous devons introduire le concept de effort. En général, sur un élément de volume de la isotrope système continu, ils vont agir les forces de volume que les forces de surface.

  • Les forces de volume sont les forces dues à l'interaction de l'organisme avec les organes externes et sont proportionnelles à la densité du corps lui-même. En général, ceux-ci ne sont pas impliqués dans l'élasticité discussion linéaire.
  • la forces de surface à la place de ces forces sont localisées sur les surfaces du corps qui sont transmis dans toutes les surfaces infinitésimales, dans lequel le corps continu peut être considérée être divisée.

Pour l'effort, la force transmise par unité de surface, dans le voisinage d'un point, qui est créé à la suite de l'application d'une contrainte externe sur un système, afin de maintenir l'équilibre; la force est pas nécessairement perpendiculaire à la surface. Nous pouvons représenter plus facilement l'effort comme:

  • contrainte normale:
  • contrainte de cisaillement ou de cisaillement:

et Ils représentent l'unité vecteurs respectivement normale et tangente à la surface où la force est appliquée.

L'unité de mesure de l'effort est le Pascal ou Newton par mètre carré.

Rapport cauchy

Considérons un élément suffisamment petit volume dans un système isotrope continu et de choisir les trois surfaces coïncident avec les plans de coordonnées , , , dont versors sortants sont respectivement , ,

On voit que la relation entre ces surfaces et une surface infinitésimale générique orienté avec versor sortant .

Tenir compte des agents efforts sur des surfaces avec des références évidentes des indices à versors: , , , ; pour l'état d'équilibre:

à partir de laquelle nous obtenons le rapport cauchy:

où tout est divisé et sachant que , et ainsi de suite.

Le tenseur de stress

D'après le rapport, nous pouvons développer des composants du rapport de vecteur de Cauchy , avec des références évidentes aux indices:

On obtient ainsi une ladite matrice tenseur des contraintes sur la zone générique du vecteur unitaire infinitésimal :

Les termes de la diagonale principale sont les efforts normaux des agents sur la surface générique. Les termes représentent au large de la diagonale principale les composantes des forces de coupe. Nous devons insister sur les éléments hors de la diagonale principale:

, Le tenseur est donc symétrique, et les éléments indépendants c.c.3D est devenu six au lieu de neuf. La trace de ce tenseur est invariant, et est utilisé pour généraliser la définition plus abstraite pression. En effet, en trois dimensions des coordonnées cartésiennes:

.

En général, dans les coordonnées orthogonales dans une dimension spatiale n, la pression est définie de la manière suivante:

où il est utilisé par souci de concision à la notation d'Einstein.

les relations de contrainte-déformation

  • des efforts normaux

Nous avons dit que, suite à l'application de contraintes purement normales ont une déformation axiale:

INVERSION ces relations sont l'un des constantes lamé.

De plus, si les trois contraintes normales sont égales: , puis:

.

et déterminer le volume de déformation:

Il est le module de compressibilité.

On obtient la déformation latérale:

  • les contraintes de cisaillement

Vous pouvez mettre en relation avec la déformation latérale avec celle de coupe:

Il est le module de rigidité.

bibliographie

Articles connexes

liens externes