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Ci-dessous, nous couvrirons la calcul des cadres de planchers à-dire, nous développons une procédure qui nous permet de déterminer les caractéristiques de contraintes internes d'un cadre plat. Pour les châssis, nous entendons un ensemble de faisceaux reliés les uns aux autres avec des contraintes internes.

En particulier, nous utiliserons la méthode des déplacements qui passe par le calcul de la matrice de rigidité de la structure. Cette méthode est également définie Méthode de la raideur.

La matrice de rigidité d'une structure

Nous insistons sur une structure de déplacement (translations et rotations) de certains points, définissables par de vraies valeurs scalaires.

Calcul cadres plans Conventions spostamenti.png

Dans les mêmes points appliquent des charges externes homologues dans ces déplacements (traductions dans les forces associeront les mêmes directions, rotations moments associeront avec le même plan de mise en œuvre et le sens de rotation).

Calcul cadres plans Conventions forze.png

Amener les déplacements nodaux d'un vecteur vertical et les forces nodales sur les mêmes noeuds sur un vecteur vertical , le rapport entre les deux quantités est du type

.

quand Il est une matrice associée à la structure définie par la matrice de rigidité de la structure.

Pour le théorème de réciprocité ou Betti, la matrice Il est symétrique.

matrice de rigidité faisceau

Pour déterminer la matrice de rigidité de la structure entière partira le calcul de la rigidité d'une matrice de faisceau.

Dans ce cas, pointant avec les déplacements des points extrêmes de la poutre, et avec les charges appliquées dans le côlon, les deux quantités seront reliés par une relation du type

.

quand Elle est la matrice de rigidité de la poutre qui est du type

matrice de rigidité faisceau unique local Calcul

Le rapport écrit ci-dessus est générale et applique à tout faisceau. nous calculerons ci-dessous la matrice de rigidité d'un faisceau de section constante, constituée d'un matériau homogène et isotrope, ce qui rend notre propre l'hypothèse de De Saint Venant.

En particulier, supposons que la section du faisceau est constant et la zone . Le moment d'inertie calculé selon un axe perpendiculaire au châssis et le plan passant par le centre de gravité de la section est . En outre, cet axe est l'un des axes principaux d'inertie de la section, de sorte que les moments appliqués au plan du cadre donnant lieu à une flexion simple.

Pour déterminer les valeurs des coefficients individuels de la matrice Nous considérons que certains modèles statiques habituels.

Nous partons du calcul des coefficients qui se rapportent aux efforts nodaux et . Considérons un faisceau de contraintes sur le second extrême libre sur le premier et sur le dernier extrême soumise à un effort axial . En supposant négligeant effets du second ordre (non linéarité géométrique), nous sommes en présence d'un décalage et . La relation entre à il est

quand Il est la déformation de la tige unitaire.

La réaction de retenue sur la seconde extrémité axiale est donnée par

De même pour procéder , Nous pouvons donc tirer

Considérons un faisceau simplement supporté soumis à deux moments dans les deux extrêmes et .

Avec quelques calculs, nous obtenons que la relation entre les déplacements nodaux et les efforts nodaux et il est

En inversant le rapport ci-dessus, nous obtenons

qui nous permet de trouver et .

En calculant les forces de réaction verticales sur les deux extrêmes, on trouve

à partir de laquelle nous obtenons

Pour trouver les coefficients restants analyser une poutre horizontale fixée sur la première extrémité et la seconde liée avec un guide qui permet à la seule translation verticale. Nous appliquons le second sommet une force verticale . Dans ce cas, le déplacement vertical la seconde extrémité est donnée par la relation

d'où

Toujours en référence à la configuration décrite ci-dessus, la réaction verticale contraint dans la première extrême, il est égal à . donc

Par symétrie, nous trouvons et respectivement égales à et .

En résumé ce qui a été vu, on obtient la matrice de rigidité suivante

Système mondial de référence

Comme on vient de décrire se rapporte à un système de référence local du faisceau ayant l'axe des abscisses confondu avec l'axe du faisceau. Le fait de devoir assembler ensuite la matrice de rigidité globale de la structure est toutefois nécessaire de coordonner entre eux les références des différents systèmes de poutres. Pour ce faire, nous rapportons les systèmes de référence des faisceaux individuels à un système de référence commun. Cela se traduira par des déplacements de carry et les contraintes du système de référence local du faisceau au système de référence mondial.

indiquant avec et respectivement déplacements nodaux et contraintes dans le système de référence global, les deux doivent être reliés entre eux par la relation

Dans ce qui suit, nous traiterons d'identifier les coefficients

Pour ce faire, nous commençons par caractériser notre faisceau avec un vecteur d'unité à deux dimensions orientée de la même tige et ayant, par définition, le module unitaire. En supposant que les extrémités de la poutre sont les deux points et , les composants de Ils sont donnés par

Notez que l'hypothèse égale à l'inclinaison du faisceau par rapport à l'axe des abscisses,

Dans ce cas, étant donné que les tours ne changent pas avec des changements dans le système de référence, le lien entre les déplacements dans le système de référence local et les changements dans le système de référence mondial il est

dans lequel la matrice Elle est donnée par

Il est une matrice symétrique avec une particularité: son inverse est égal à sa transposée .

De même, la relation entre les tensions nodales dans le système local à ceux du système mondial il est

Inverser ces relations, nous obtenons

qui a remplacé dans

nous donner

à partir de laquelle une simple étape, nous obtenons la matrice de rigidité nous recherchions

L'assemblage de la matrice de rigidité globale

Dans les sections précédentes, nous avons analysé les poutres individuellement, mais nous arrivons maintenant à notre objectif final: analyser l'ensemble du châssis. Le cadre est présenté comme un ensemble de faisceaux qui interagissent les uns avec les autres et avec l'environnement extérieur. A l'intérieur du formalisme mathématique telle interaction se manifeste par des contraintes internes (interaction entre les poutres) et externes (interaction avec l'environnement extérieur).

nous aurons analytiquement pour passer de la matrice de rigidité des faisceaux individuels à la matrice de rigidité de notre châssis.

Supposons que notre cadre est composé de poutres. Bridging vecteurs de déplacement nodales des faisceaux individuels, l'obtention d'un vecteur des déplacements nodaux du cadre disjointes ainsi défini

Notre objectif est de passer le transporteur (déplacements nodaux de chaque faisceau unique) au support les déplacements nodaux de notre châssis. Par conséquent, nous recherchons un opérateur qui lie les deux variables selon la

Elle est définie matrice d'incidence et est une matrice , quand est le nombre des déplacements nodaux de la trame, est le nombre total de déplacements nodaux de chaque poutre (4 translations et rotations 2) et est le nombre de ventes aux enchères. L'élément générique sera égal à 1 si le déplacement intérieur de la poutre Il correspond au déplacement du cadre, sinon il sera égal à 0.

Passant aux charges nodales, on peut combiner les charges nodales dans un seul transporteur bien défini

La relation entre le support (charges nodales de chaque poutre) au support (charges nodales sur la totalité de la trame) est

Reparaît donc la matrice d'incidence.

D'autre part l'assemblage approprié des matrices de rigidité des faisceaux individuels, on peut noter que même et Ils sont reliés entre eux par la relation

quand

En inversant la relation qui lie et et son remplacement par les rapports précédents, nous obtenons

à partir de laquelle on peut voir que la matrice de rigidité de la structure est donnée par la relation

des charges concentrées et appliquées distribués le long de la poutre (charges infranodali)

Jusqu'à présent, nous avons supposé la présence de charges appliquées uniquement dans les nœuds. En fait, cette hypothèse en présence de charges concentrées le long de l'arbre serait une limite facilement surmontables. Dans un tel cas, il suffirait de redéfinir la structure, y compris le point en question entre les nœuds du cadre.

En présence de charges réparties de la limite mentionnée ci-dessus ne peut pas être dépassée. Dans ce cas, il est nécessaire de revoir l'approche à la vue de la date d'introduction dans l'équation qui régit la question d'un nouveau transporteur afin d'avoir

le transporteur Cela dépend des charges concentrées et appliquées réparties sur la structure.

Pour comprendre la signification physique de ce nouveau transporteur, considérons le cas

ensuite

Ainsi, le vecteur Il est défini comme la valeur des efforts nodaux en présence de déplacements nuls. le transporteur se présente en fonction des caractéristiques géométriques et physiques du châssis, ainsi que par des charges externes appliquées infranodali.

Pour le calcul d'un tel support se déroulera d'une manière similaire à ce qui a été fait ci-dessus pour le calcul de la matrice de rigidité du cadre: nous allons donc commencer à partir de l'analyse d'un seul faisceau, calcul dans son système de référence local des charges nodales valeurs annuler les déplacements nodaux ; Nous transformons les résultats ainsi obtenus à partir du système de référence local au niveau mondial en utilisant la matrice ; donc nous avons fini avec un véhicule pour chaque faisceau de la structure; pour obtenir un seul transporteur nous utiliserons à nouveau la matrice d'incidence .

Nous commençons le calcul du vecteur . A cet effet, nous supposons pour notre faisceau tout type de contrainte, de telle sorte que le faisceau isostatique. Par souci de simplicité, par exemple, supposons que vous avez un verrouillage sur le premier sommet et le deuxième sommet est libre. Suite à l'application des charges externes infranodali, nous aurons une déformation axiale totale sur la poutre et une courbure totale .

On calcule d'abord les réactions de soutien dans la liaison calée, notée , et . Nous assemblons ces valeurs dans le vecteur , bien défini

On calcule maintenant les déplacements nodaux dans le sommet libre. Pour ce faire, nous utiliserons le principe de travail virtuel, en prenant toujours comme une poutre de la structure de comparaison collée sur le premier sommet et il efface dans la seconde. Les déplacements de la poutre seront

Les forces nodales Ils peuvent être calculées en utilisant la matrice de rigidité selon la relation

Pour le principe de superposition du support sollicitât sera donnée par la relation

le transporteur ainsi obtenue se réfère au système de référence local du faisceau analysé. Pour la transition vers un système de référence mondial, nous utilisons la matrice défini ci-dessus, selon la relation

Il reste à assembler le support la structure entière. Pour ce faire, nous devons analyser l'équilibre de chaque nœud de notre structure. De cette façon, on obtient à nouveau les termes de notre matrice d'incidence, selon

La non-linéarité

Jusqu'ici, nous avons développé notre modèle en supposant un comportement élastique linéaire de notre matériel; plus précisément, nous avons supposé l'existence d'une relation linéaire entre la courbure, déformation axiale moyenne et les caractéristiques de stress.

Les matériaux utilisés dans la technique actuelle dévient beaucoup de ce comportement théorique. Cet aspect est généralement identifié avec l'expression linéarité non mécanique.

Une autre hypothèse fait en ce qui concerne l'influence de la déformation sur l'état final d'équilibre: on calcule les caractéristiques de stress de notre faisceau se référant à la configuration non déformée. Mais considérez par exemple le cas d'une mince colonne telle que fixée à la base et à l'extrémité libre soumis à deux charges, l'une verticale et une horizontale. Les déformations prises par le pilier signifient que la charge verticale détermine l'apparition de contraintes de flexion sur la poutre (voir théorie colonne modèle).

Dans ce qui suit, nous allons modifier notre modèle afin qu'elle puisse également tenir compte de ces questions.

Pas de linéarité mécanique

Pour analyser les problèmes liés à la non-linéarité mécanique, nous devrons descendre à un niveau de détail, d'arriver à analyser le comportement des différents constituants de nos points de la section du faisceau.

Supposons que nous ayons une section définie par un ensemble de points par rapport à un certain système de référence. A l'intérieur de l'hypothèse de la conservation des sections plates, la déformation d'un constituant générique pointe notre section peut être obtenue à partir de l'origine de la deuxième section

En supposant pour le matériau constituant la section d'un constitutif du type élastique linéaire isotrope, il faut associer à ces déformations des tensions obtenues selon

Ces tensions se traduisent par une relation linéaire entre les caractéristiques de résistance et des paramètres de déformation.

Nous négligeons la simplicité de la coupe, et se concentrer uniquement sur le moment de flexion et contrainte normale (plus de hypothèse plausible dans la majorité des cas). Le rapport indiqué ci-dessus montre une relation linéaire entre la contrainte normale, le moment de flexion et la section des caractéristiques de déformation.

Tant l'acier et le béton ont un comportement différent de celui linéaire comme décrit précédemment. Pour les deux matériaux non-linéarité de la loi constitutive des résultats matériels dans une non-linéarité de la relation entre contrainte normale, flexion caractéristiques de moment et de déformation. Nous devons donc changer le modèle théorique de le faire en tenant compte de cet aspect.

Malheureusement, il n'est pas fourni une formule fermée qui permet de calculer notre cadre de ces hypothèses, nous utilisons donc des méthodes itératives.

Nous pouvons identifier dans notre faisceau un nombre important de sections, et ceux-ci aller vérifier l'écart entre modèle théorique linéaire et le comportement réel du matériau.

À ce stade, une première approche consiste à modifier la raideur des paramètres de la section, sensiblement la zone et le moment d'inertie, pour amener le comportement théorique en une réelle.

À ce stade, nous devons recalculer la matrice de rigidité du faisceau comme si elle était une nouvelle poutre à section variable ou, de même, un ensemble de petits faisceaux reliés entre eux. Il faut donc recalculer toutes les matrices de rigidité des faisceaux individuels, et réassembler ensuite la matrice de rigidité de notre châssis. Nous résolvons le système linéaire si bien défini et nous vérifions à nouveau qu'il ya divergence entre le modèle utilisé et le matériel réel. Nous procédons de cette manière depuis quand l'écart entre les deux sera suffisamment faible.

Informatiquement, cette approche a beaucoup de difficultés. La méthode néo principale vient d'être décrit est la nécessité de recalculer plusieurs fois la matrice de rigidité et ensuite avoir à résoudre. Pour les cadres peu réalistes, cela signifie d'avoir une puissance de calcul considérable.

Une approche moins coûteuse dans cette section de nos paramètres de rigidité laisse place inchangé le point de vue, et déplace notre loi constitutive jusqu'à ce qu'elle coïncide avec le matériel réel. La traduction de tous dans les formules, cela signifie introduire deux coefficients et de telle sorte que le lien de notre section devient

quantités et Ils se produisent tels que la déformation imprimée sur notre section, puis en tant que charges infranodali normales. En utilisant l'approche décrite ci-dessus, on peut alors traduire ces paramètres dans des vecteurs puis dans un support propre à notre structure.

A ce stade, nous avons réussi à éviter le recalcul de la matrice de rigidité de la structure, mais nous sommes toujours obligés de résoudre le système:

À ce stade, nous devons recalcule une nouvelle fois la différence entre le modèle théorique et le modèle réel et répéter la procédure décrite ci-dessus pour obtenir un niveau de précision suffisant.

Voulant gagner du temps, cependant, nous pourrions faire un petit changement à la procédure ci-dessus: la première fois que nous résolvons le système , inverser la matrice . La plus grande charge de calcul nécessaire sera utile dans les étapes suivantes, quand il sera suffisant pour calculer

dans lequel les termes du droit du signe égal sont tous connus.

On dit que la procédure itérative décrit ainsi conduit toujours à une solution; nous pourrions par exemple faire en sorte que notre cadre ne peut pas résister aux charges imposées.

Non linéarité géométrique

Dans la grande majorité des cas, d'ingénierie, les effets de la déformation de la structure peuvent être considérés comme négligeables de mesure stress et l'instabilité.

Par conséquent, jusqu'à présent l'analyse du cadre a été en mesure d'effectuer avec la théorie du premier ordre (L'analyse de premier ordre), À savoir en imposant l'équilibre de la configuration initiale de la structure (la structure non déformée).

En présence d'éléments de structure minces déplacements ne sont plus négligeables produites par des actions appliquées pour déterminer le début de l'agent d'excentricité de la charge axiale, avec formation consécutive d'un moment de flexion (flambage) Ou augmentation d'un élément de structure déjà présent (structures pressoinflesse).

Dans ce cas, parle de effets du second ordre et son moment de flexion supplémentaire est dit le second moment.

Ce phénomène influence grandement la déformabilité aussi bien en fonctionnement, à la fois la capacité de résistance à la rupture d'une structure simplifiée.

Les tests de stabilité doivent être effectués par un "l'analyse du second ordre, en imposant l'équilibre sur la configuration déformée de la structure.

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