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en mathématiques souvent ils se produisent des problèmes qui nécessitent calculer une zéro un fonction d'une variable réelle ou, selon une expression équivalente, trouver une racine réel une équation forme (Cette expression est plus proche de la date limite Anglais racine).

La résolution du problème dépend strictement de la forme de la fonction : Si elle est, par exemple, un polynôme ou fonction rationnelle existent, pour les grades inférieurs, des formules qui permettent de déterminer de façon précise tous les zéros, sans approximations. Dans tous les autres cas, comme pour fonction exponentielle ou trigonométrique (De manière plus générale transcendant), En dehors de quelques cas élémentaires résoluble par les définitions, mais aussi pour un polynôme de degré supérieur à 4, il n'y a pas de méthodes algébriques pour déduire avec précision les valeurs des zéros. Parmi ces cas concernés par ce point.

Pour ce type de problème que vous préférez parler de algorithmes pour la solution d'équations, ce qui implique que ces méthodes peuvent être appliquées à la fois équations linéaires que les équations non linéaires. Certains algorithmes pour le calcul d'un zéro d'une fonction réelle peut être directement généralisée pour résoudre des équations non-linéaires.

En définissant le problème avec une équation de la forme , où le paramètre x fonction fa est un vecteur n-dimensions (voir fonction vectorielle), Le problème est généralisé à la recherche d'un transporteur n-solution dimensions que les deux de l'équation ci-dessus.

vue d'ensemble

Les méthodes de calcul des racines d'une équation de façon approximative (les valeurs inconnues qui satisfont l'équation) sont divisés en deux phases: dans la première phase sont séparés les racines, ou vont déterminer la intervalles de la ligne réelle qui contiennent une seule racine de l'équation (vous pouvez utiliser la procédé graphique); dans la deuxième phase, il est calculé une valeur approximative de la racine de l'équation en appliquant l'une des méthodes décrites ci-dessous.

Lorsque les racines sont séparées, par exemple, on a constaté que la racine Il est dans la gamme nous avons deux approximations, un vers le bas et un pour excès de la racine. Il est de réduire l'intervalle de manière à obtenir les valeurs les plus approximatives, selon une approximation fixe. Les processus sont itératif.

Certains algorithmes spécifiques

La méthode de recherche est la racine la plus simple Procédé de bissection ou procédé dichotomique. Il commence par connaître un intervalle réel [à,b] Que la garantie ci-dessus contiennent une et une seule racine. Par exemple, avoir à rechercher une racine d'un fonction continue, à et b les valeurs seront prises de telle sorte que et supposer signe opposé; en fait, pour la théorème des zéros, l'intervalle contiennent sûrement une racine x à l'équation. L'intervalle défini, avec des itérations successives, nous procédons à la réduction de moitié progressive du même. Lors de la première itération est choisi parmi les sous-intervalles [à, c] Et [c, b], Où c = (à + b) / 2 est le mi-chemin entre le point de à et b, par l'évaluation du signe fa(c). La convergence de la procédure est garantie, mais il est lent, car il a tendance linéaire. Cette méthode peut être en partie par rapport à l'algorithme de recherche binaire dell 'informatique, pour rechercher une valeur particulière dans un ensemble ordonné de données.

la Procédé de tangentes (Aussi appelé méthode newton ou La méthode de Newton - Raphson) Utilise l'approximation linéaire (au moyen de la tangente) de la fonction fa dans un quartier d'une approximation actuelle de la racine. Cela conduit à relation de récurrence

.

Cette méthode ne peut pas converger si l'on part d'une valeur de la variable x trop loin d'une racine. Si, cependant, est en bonne voie converger plus rapidement que la méthode bissectrice (la convergence est quadratique). De plus, cette méthode se généralise facilement aux problèmes multidimensionnels.

Si la méthode tangentes remplace la dérivée de la fonction avec un différences finies, vous obtenez le procédé sécante. Elle est caractérisée par la relation de récurrence

.

Cette méthode ne nécessite donc pas le calcul de la dérivée de la fonction, mais il a une convergence plus lente (votre commande est d'environ 1,6).

la Procédé selon la fausse position Fibonacci, également appelé la fausse méthode régula, elle est semblable à la méthode de dichotomie, mais à chaque itération au lieu de couper la racine de l'intervalle de composition en deux parties égales, il divise le point suggéré par la formule de la méthode de la sécante. Cette méthode hérite de la robustesse de la méthode bissectrice et la convergence surlinéaire de la méthode sécante.

Applicabilité des méthodes de calcul

Notez que toutes les méthodes peuvent être appliquées dans tous les cas. Par exemple, l 'équation

Il a une solution x= 0; si nous voulions appliquer la la méthode de dichotomie dans cette équation, nous devons d'abord déterminer, pour commencer l'itération, deux points à et b de telle sorte que et ont des signes opposés (voir théorème des zéros).

Dans le cas présent, une valeur de est prise, la valeur calculée Il sera toujours supérieur ou égal à 0. L'algorithme de bissection est donc pas applicable.

Liste des méthodes numériques

bibliographie

liens externes

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