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Comparaison entre la règle en quadrature de Gauss 2 points et la règle trapézoïdal.
Comparaison entre la règle en quadrature de Gauss 2 points et la règle trapézoïdal. La ligne bleue est le polynôme , dont l'intégrale sur [-1, 1] est 2/3. la règle trapézoïdale renvoie l'intégrale de la ligne des voies orange, égale à . La règle de quadrature de Gauss 2 points renvoie l'intégrale de la ligne en pointillé noire, égale à . Ce résultat est exact dans la mesure où la région verte a la même zone des régions rouges.

en analyse numérique, la formules de Gauss en quadrature ils sont formules numériques en quadrature degré de précision maximal, utilisé pour l'approximation d'une intégrale définie forme connaissance valeurs de la fonction gamme .

théorème

données points clés dans un intervalle , et une fonction , le degré de précision de l'interpolation d'une formule de quadrature Il est égal à Si ces noeuds sont les zéros d'un polynômes orthogonaux en par rapport à un fonction de pondération .

démonstration

Pour choisir une hypothèse ,l'espace des polynômes de degré ,le choix de en fait, il ne modifie pas la séquence de valeurs .

Il est alors que

car étant des poids déterminés de façon unique ,la formule en quadrature doit avoir une précision au moins . Considérons le polynôme ,un polynôme de degré ,que i pour tous, et ,où Il est un polynôme de degré orthogonal ayant la zéros dans les points nodaux.

Vous pouvez alors écrire

mais le second membre de l'égalité vaut 0 étant polynômes orthogonaux. Il en résulte que

ce qui montre que, compte tenu du premier et du dernier élément de la série des égalités, poids sont les coefficients d'une formule de quadrature numérique de qualité .

Calcul du poids

De la définition de interpoler formule quadrature numérique il en résulte que le poids d'interpolation générique Il est réalisé sous la forme

ou de manière générale

est le coefficient de la polynôme de Lagrange index . Il peut également être exprimé en

Si vous entendez par la fonction ainsi définie:

Le polynôme orthogonal a zéros, puis

donc

Par conséquent, le poids générique Il est calculé comme

bibliographie

  • T. E. Whittaker et Robinson G. Le calcul des observations (Londres, Blackie Sons, 1924) p. 159
  • M. Abramowitz et moi Stegun Manuel des fonctions mathématiques (New York, Dover, 1972) p. 887
  • PJ Davis et P. Rabinowitz, Méthodes d'intégration numérique. (New York, Academic Press, 1975).

liens externes