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en mathématiques, et en particulier analyse numérique, la Procédé de tangentes, également appelé La méthode de Newton ou méthode de Newton-Raphson, Elle est l'une des méthodes de calcul d'une équation approximative de la solution de forme . Il est applicable après un intervalle déterminé qui contient un seul racine.

Procédé de pots
Exemple d'application de la méthode des tangentes

Le procédé consiste à remplacer la courbe la tangente à la même courbe, à partir d'un point quelconque; pour plus de simplicité, vous pouvez commencer à partir de l'un des deux points qui ont en abscisse extrémités de la plage et supposer, en tant que valeur approximative de la racine, l'abscisse le point où la tangente coupant l'axe de intervalle interne .

Prouve que itérativement procédant relation de récurrence le procédé est

qui permet de déterminer les approximations successives de la racine de l'équation . Avec l'hypothèse posée, il est démontré que la séquence de converge vers la racine assez rapidement.

Plus précisément, il montre que si est un quartier convenable de zéro avec et si puis

autrement dit, la convergence est quadratique (Le nombre de chiffres significatifs double à peu près à chaque itération, tandis que le procédé de bissection croît linéairement), bien que local (Il ne s'applique pas aux ). Cependant, si la racine est multiple, à savoir La convergence est linéaire (Plus lent). En pratique, la tolérance fixe approximation admissible , la procédure itérative se termine lorsque

Le problème avec cette méthode est que la convergence est pas garantie, en particulier lorsque Elle varie beaucoup dans le voisinage de zéro. En outre, la méthode suppose que est disponible directement pour une donnée . Dans les cas où cela ne se produit pas, et ne devrait être nécessaire pour calculer la dérivée par une différence finie, nous vous recommandons d'utiliser la procédé sécante.

histoire

Le mathématicien français François Viète Elle a présenté en 1600[1] une méthode déjà connue en 1427 par Al-khasi, pour trouver les zéros d'un polynôme par l'intermédiaire d'une interruption de sa solution approchée. Quatre ans après Newton était au courant de la méthode archaïque, et en 1669 il a découvert indépendamment une méthode pour trouver les zéros d'un polynôme.

A titre d'exemple représenté dans l'équation suivante une solution de nombre entier qui a . L'application de la substitution Vous obtenez le polynôme et en négligeant les monômes de degré supérieur au premier, c.-à-linéariser le polynôme, vous obtenu . Pour le remplacement couvert et vous obtenezet pour Linéarisation . Le remplacement et il fait le même raisonnement que nous obtenons . d'où

Vous pouvez faire deux observations concernant la méthode proposée:

  1. et pour lequel la méthode trouvée par Newton correspond à la méthode moderne des tangentes;
  2. en observant les valeurs de , et on peut noter que le nombre de zéros après la virgule double à chaque étape, puis dans l'exemple que vous avez une convergence quadratique.

En 1687, en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Newton applique pour la première fois la méthode de l'équation non polynomiale. Tel est le cas de l'équation indique la moyenne anomalie et l'anomalie excentrique. Dans ce cas, se rapprochant de la poitrine comme la somme de son expansion en série de Taylor tronquée Newton tira donc et un polynôme pourrait appliquer la méthode qu'il a trouvé.

En 1690, le mathématicien Joseph Raphson il a réussi à obtenir une méthode itérative pour mettre à jour la solution approximative sans avoir à calculer la puissance du monôme complet et en 1740 Simpson Thomas, dans le livre « Essais sur plusieurs sujets curieux et utiles dans Mix et Spéculatives pour Mathematicks, illustré par un variey des exemples » il méthode tangentes par la suite moderne reconnaissant le rôle des premiers dérivés dans la solution de mise à jour.

une dimension cas

envisager une fonction undimensione , puis pour Weierstrass la fonction admet un minimum à déterminer.

Alors, prenez un point dans la gamme, en utilisant la série Taylor , est que avec entre et

Donc, si est suffisamment faible, à savoir , Il est obtenu . Notez que le dernier rapport n'a de sens que si Il est non nul. Une fois trouvé il répète la procédure. Il a trouvé l'algorithme suivant:

Unidimensionnelle Méthode de Newton
* étape 0: Vous choisissez un point  gamme . Cela soulève 
à 
* étape 1: Déterminer .
* étape 2: Poni  et revenir à l'étape 1.

Comme nous l'avons vu, une condition nécessaire pour que la méthode soit applicable est celle qu'il ya un intervalle quand Il est tel que et . Par le théorème des zéros de cette plage existe si et seulement si et .

cas multidimensionnel

envisager une fonction et les deux zéro à déterminer. Profitant du développement en série Taylor qui a pris un transporteur générique :

indique la jacobien de calculé au point .

Donc, si Il est inversible vous obtenez un nouveau point Il est la solution du système linéaire .

Il a trouvé l'algorithme suivant:

Multidimensional Newton Méthode
* étape 0: Vous choisissez un point  . Cela soulève .
à 
* étape 1: Il résout  en obtenant le vecteur .
* étape 2: Déterminer .
* étape 3: Cela soulève  et il retourne à l'étape 1.

Il est un quartier convenable de la racine avec et si

notes

  1. ^ [1]

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