s
19 708 Pages

un problème de Riemann, du nom du mathématique et physique allemand Bernhard Riemann, est un problème de valeur initiale qui consiste en un loi de conservation et à partir d'un état initial constitué de deux constantes ont été séparés par une seule discontinuité.[1] Le problème de Riemann est particulièrement utile pour la compréhension et la résolution systèmes hyperboliques comment équations d'Euler, parce que certaines propriétés, telles que des ondes de choc et analysés dans raréfaction, le contexte d'un problème de Riemann, bien sûr y apparaissent sous forme de solution traits.

en analyse numérique, les problèmes Riemann apparaissant dans les méthodes numériques de volumes finis: Pourquoi sont largement utilisés dans la dynamique des gaz et La dynamique des fluides, de sorte que les problèmes de Riemann sont résolus au moyen de résolveurs spéciaux.

Le problème de Riemann dans la dynamique des gaz

À titre d'exemple, nous étudions les propriétés du problème de Riemann appliquées à la dynamique des gaz unidimensionnels.[2] Il est constitué par les lois de la dynamique des gaz linéarisées (dans laquelle et sont respectivement la densité et la vitesse des particules de gaz, est une valeur de la densité de référence et assume sans perte de généralité):

avec la condition initiale suivante:

0 {\ texte {.}}} « />

le point sépare les deux états initiaux différents, définis gauche et droit respectivement. Le système d'équations différentielles peut être réécrite sous la forme conservatrice:

:

et l'indice désigne la dérivation partielle par rapport à ou .

Les valeurs propres de la matrice , et , représentant la vitesse de propagation des ondes dans le milieu. La structure du problème de Riemann en question se compose donc de deux impulsions qui se propagent à partir de l'origine du système de référence (), Avec la première vitesse égale à , la seconde avec une vitesse égale . Dans le plan cartésien ces ondes suivent le soi-disant courbes caractéristiques du système, qui dans ce cas sont deux lignes de pente égale à et : et . A gauche de la fonction il maintient l'état initial gauche ; fonction droite il conserve l'état initial juste . Dans le domaine entre les deux caractéristiques, il est généré une infiltration d'état constant .
Les vecteurs propres correspondant à et ils sont

et par rapport à ceux-ci peuvent se décomposer les états initiaux: pour une valeur de , , , vous pouvez alors écrire

La solution inconnue Il est finalement obtenu en fonction des états initiaux:

et la solution complète (constante par morceaux) dans le domaine du problème de Riemann 0 « /> il est:

notes

  1. ^ (FR) Eleuterio F. Toro, Le problème de Riemann, en Riemann solveurs et méthodes numériques pour la dynamique des fluides, 3e éd., Berlin, Springer, 2009, pp. 49-50, ISBN 978-3-540-25202-3.
  2. ^ (FR) Eleuterio F. Toro, Le problème de Riemann pour linéarisé Gas Dynamics, en Riemann solveurs et méthodes numériques pour la dynamique des fluides, 3e éd., Berlin, Springer, 2009, pp. 58-59, ISBN 978-3-540-25202-3.

bibliographie

  • (FR) Eleuterio F. Toro, Riemann solveurs et méthodes numériques pour la dynamique des fluides, 3e éd., Berlin, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-25202-3.
  • (FR) Randall J. LeVeque, Méthodes de volume pour Finite problèmes hyperboliques, Cambridge, Cambridge University Press, 2002 ISBN 978-0-521-00924-9.

Articles connexes

  • Analyse numérique
  • fluide
  • la dynamique des fluides
  • gasdynamics

Activité wiki récente

Aidez-nous à améliorer BooWiki
Commencez