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en mathématiques, et en particulier analyse numérique, la méthodes de Galerkin, dont le nom est dû à Boris GALERKIN,[1] permettre de passer de la résolution d'un problème dans un espace continu défini à la résolution de ce problème dans un espace discret afin de déterminer une solution numérique approchée.

introduction

Face à un problème défini sur un espace de Hilbert , donné une forme bilinéaire (Résultant par exemple de formulation faible un équation différentielle partielle) Et forme linéaire (Dérivé par exemple de l'élément droit d'une équation différentielle partielle), vous voulez résoudre l'équation:

Un tel problème est défini dans un espace à sans fin dimensions dont la solution analytique est indéterminable en général. Vous pouvez cependant déterminer une approximation numérique de ces problèmes par la méthode de Galerkin, qui est donc d'une importance capitale pour une grande variété d'applications industrielles.

description

La méthode Galerkin est de faire la discrétisation de la fonction du problème de la recherche sur une séquence de sous-espaces de telle sorte que:

Dans chacun de ces sous-espaces de taille finie du problème initial est résolu exactement. Ce nouveau problème, dérivé de la discrétisation du domaine, est appelé problème ou un problème Galerkine approximé discret. Le nouveau problème nécessite donc la détermination de la solution (unique) de telle sorte que (équation Galerkin):

Merci à la discrétisation du domaine de problème Il a une taille finie, et il est donc possible de déterminer une base également de taille finie. Date d'adhésion à , vous pouvez écrire comment combinaison linéaire des éléments appartenant à la base de :

Une telle écriture peut être remplacé dans l'équation du problème discret qui peut être écrit, compte tenu de la linéarité opérateur , tels que:

Les mêmes observations peuvent être faites pour la fonction , appartenant également à , et qu'il peut ensuite être écrite comme une combinaison linéaire des éléments de la base. Le nouveau remplacement est l'équation qui en résulte:

qui peut être réécrite comme:

Cette équation met en évidence la possibilité de réécriture sous forme matricielle par la définition de trois matrices. Ils définissent donc la matrice de rigidité:

les charges de la matrice:

et la matrice de coefficients:

Avec ces définitions, il est possible de réécrire l'équation système d'équations algébriques linéaires sous forme matricielle:

rectangularité Galerkine

la différence entre le problème d'origine et Galerkine la solution satisfait la propriété que équerrage Galerkine:

C'est, en utilisant un vecteur de test vous obtenez l'erreur Il est orthogonale au sous-espace considéré.

convergence

les deux un espace de Hilbert et est une séquence de ses sous-espaces de dimension finie de telle sorte que:

les deux une forme bilinéaire V-elliptique. Ensuite, il peut être démontré que:

puis la méthode de Galerkin converge.

bien des problèmes posés

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: formulation faible.

Prenons le cas où la forme bilinéaire est symétrique:

Avec cette hypothèse ne fait pas une véritable restriction des méthodes Galerkin, mais l'application de la théorie standard devient plus facile. Pour montrer qu'il est un problème bien posé selon la définition de Hadamard, et, par conséquent, il admet une solution unique, tenez compte des propriétés de la forme bilinéaire:

  • limitation:
0} « />
  • Elliticità:
0} « />

pour la théorème de Lax-Milgram Ces conditions impliquent que le problème d'origine est faiblement formulé un problème bien posé.

Lemme de Cea

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Lemme de Cea.

Un lemme, a présenté et démontré dans la thèse de doctorat Jean Cea, montre que l'erreur entre la solution initiale et celle de la méthode de Galerkin est:

Autrement dit, à moins qu'une constante la solution Galerkin Il est « proche » à la solution originale Comme tout autre transporteur .

En fait, dall'ellitticità et de la forme bilinéaire exiguïté, et grâce au fait que la différence satisfait l'orthogonalité Galerkine:

vous avez pour un vecteur arbitraire :

en divisant par et de prendre le plus possible infimum Vous obtenez le lemme.

notes

  1. ^ Très souvent, dans la littérature, ils sont présentés dans la mauvaise forme de Galerkin, comme il est écrit Galiorkin. Les Anglo-Saxons peut traslitterarlo En outre Galyorkin.

bibliographie

  • (FR) A. Ern, J. L. guermond, Théorie et pratique des éléments finis, Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
  • (FR) S. Brenner, R. L. Scott, La théorie mathématique des méthodes d'élément finis, 2e édition, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
  • (FR) P. G. Ciarlet, La méthode des éléments finis pour Elliptic problèmes, North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7
  • (FR) Y. Saad, Méthodes itératives pour systèmes linéaires, 2e édition, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2

Articles connexes

liens externes

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