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la Procédé numérique de volumes finis Il est une méthode utile pour l'intégration de équation différentielle partielle. Ces équations doivent être intégrées dans un volume dont les limites sont imposées les conditions aux limites.

L'intérieur de ce domaine est ensuite subdivisé en autant de volumes élémentaires, puis en utilisant la forme intégrale des équations du problème considéré sont écrits dans les relations entre les différents volumes voisins afin qu'ils puissent être résolus numériquement à l'aide de l'ordinateur. L'approximation est que ces volumes ont une taille finie et non infinitésimale.

Exemple monodimensionnelle (1D)

Considérons le problème défini par les éléments suivants équation différentielle partielle:

quand Il représente la variable d'état et représente la flux de . En particulier, nous supposons positif ou négatif selon le sens de l'écoulement. Si l'on considère l'équation (1) par rapport à l'écoulement de matière à travers une aire de surface constante, on peut diviser l'ensemble du domaine spatial dans un certain nombre de volume fini ou cellule, l'identification avec l'indice le centre de chaque cellule. Pour une cellule particulière nous pouvons définir la volume moyen de temps et , tels que:

et volume moyen par rapport au temps , tels que:

quand et identifier les positions des faces du flux sortant et entrant, concernant cellulaire.

En intégrant l'équation (1) par rapport au temps, nous obtenons:

Pour obtenir le volume moyen de temps , intégrer sur tout le volume de la cellule et diviser le résultat par , puis

Nous supposons une certaine régularité des , et que nous pouvons inverser l'ordre d'intégration. Étant le débit normal à la surface d'unité de surface de la cellule, étant donné que dans une dimension , nous pouvons appliquer théorème de divergence, le remplacement de l 'intégrale de volume de divergence avec la valeur de pris dans les visages et du volume fini, à savoir:

quand et .

Nous pouvons également déduire un schéma numérique semi-discret pour le problème suivant avec le centre des cellules indexées , et en utilisant comme indices pour les flux sur les visages ; différenciation (6) par rapport au temps, nous obtenons:

où les valeurs sur les faces des cours d'eau, ils peuvent être obtenus à partir d'une opération de interpolation ou extrapolation du milieu par rapport à chaque cellule. Il convient de noter que l'équation (7) est correcte en ce qui concerne les volumes moyens, en ce sens que, à cet égard n'a pas été introduit, au cours du traitement tournage, aucune approximation.

Articles connexes

  • Analyse numérique
  • méthode des éléments finis
  • méthode des différences finies

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