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l'expression matrice triangulaire, en mathématiques, indique matrices carré qui ont toutes les entrées zéro ci-dessous ou au-dessus de la diagonale. Selon que les éléments nuls sont au-dessus ou au-dessous de la diagonale de la matrice est appelée respectivement matrice triangulaire supérieure ou haute matrice triangulaire et matrice triangulaire inférieure ou matrice triangulaire inférieure.

définitions

Les matrices triangulaires inférieures sont des matrices carrées qui ont nuls tous les éléments au-dessus du diagonale, à savoir, de la forme:

Si les chiffres sur une diagonale Ils sont tous égaux à 1 (éléments du type ) La matrice est appelée inférieurs unités de matrice triangulaire, unitaire de la matrice triangulaire inférieure ou matrice triangulaire inférieure normata.

Il est dit matrice triangulaire supérieure à la place est une matrice carrée d'éléments nuls en dessous de la diagonale principale, à savoir, de la forme:

Si toutes les recettes sur la diagonale Ils sont égaux à 1 la matrice est appelée unités de matrice triangulaire supérieure, unitaire de la matrice triangulaire supérieure ou matrice triangulaire supérieure normata.

Pour plus de clarté, au lieu de la matrice triangulaire inférieure (supérieure) on devrait parler d'une matrice inférieure / gauche (haut / droite) triangulaire, pour les distinguer des matrices triangulaire définie compte tenu de la faible place en diagonale secondaire de la principale.

Matrices échantillonnées similaire matrices triangulaires sont appelés triangolarizzabili.

Plusieurs opérations conservent la forme triangulaire:

  • La somme des deux matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.
  • Le produit de deux matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.
  • L 'inverse d'une matrice triangulaire supérieure inversible est une matrice triangulaire supérieure
  • Le produit d'une matrice triangulaire supérieure par une constante est une matrice triangulaire supérieure.

Merci à ces faits l'ensemble des matrices triangulaires supérieures est une sous-algèbre dell 'algèbre associative tout matrices carrées d'une taille donnée. De plus, il en résulte également que les matrices triangulaires supérieures peuvent être traitées comme une sous-algèbre Lie dell 'algèbre de Lie des matrices carrées d'une taille donnée, où le support de Lie Elle est donnée par interrupteur . Ces propriétés, exposés à une matrice triangulaire supérieure, sont valides dans la même manière que pour les matrices triangulaires inférieures.

La dualité entre triangulaire inférieure et supérieure

Une matrice qui est à la fois triangulaire triangulaire inférieure et supérieure est un matrice diagonale. Plus précisément, l'intersection de consigne de la matrice triangulaire inférieure avec l'ensemble des matrices triangulaires supérieures coïncide avec l'ensemble des matrices diagonales. Plus particulièrement, l'intersection ensemble des matrices triangulaires inférieures normate avec l'ensemble des matrices triangulaires supérieures normate ne contient que la matrice d'identité.

Il est également noté que, pour transposition tourner les matrices triangulaires inférieures dans des matrices triangulaires supérieures et vice versa. En particulier, la transposition transforme les matrices triangulaires inférieures normate dans des matrices triangulaires normate plus élevée et vice versa. Autant de conclusions obtenues en examinant les matrices inférieures singulières peuvent être transformées facilement dans des conclusions sur les matrices singulières supérieures.

des matrices triangulaires Produits

Le produit de deux matrice triangulaire inférieure est une matrice triangulaire inférieure: alors l'ensemble des matrices triangulaires inférieures forment un 'algèbre.

Plus particulièrement, le produit de deux matrices triangulaires inférieures normate est une matrice triangulaire inférieure normata: alors l'ensemble des matrices triangulaires inférieures normate former un 'algèbre ce qui constitue une sous-algèbre de l'année précédente.

Pour la dualité, les mêmes conclusions peuvent être tirées pour les matrices triangulaires supérieures.

Il est particulièrement simple et significative l'algèbre des matrices triangulaires supérieures normate 2 x 2. Si et sont deux réels, on observe que:

Il est à noter que ces matrices expriment les transformations du plan qui portent les lignes droites horizontales en eux-mêmes ce qui les rend glisser de manière rigide afin que le point aller au point .

Les algèbres de matrices triangulaires supérieures ont une généralisation naturelle nell 'analyse fonctionnelle conduisant à algèbres de nid.

En général, les opérations sur les matrices triangulaires peuvent être effectuées dans la moitié du temps des matrices génériques correspondants.

applications

Le système d'équations:

rectum à partir d'une matrice triangulaire supérieure normé peut être résolu par des moyens similaires. Étant donné que les matrices triangulaires sont faciles à calculer, ils sont très importants dans analyse numérique. la LU décomposition Il fournit un algorithme pour la décomposition de chaque matrice inversible dans une matrice triangulaire inférieure normata et une matrice triangulaire supérieure .

bibliographie

  • (FR) Ayres, F. Jr. Outline Schaum de la théorie et des problèmes de matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
  • (FR) Axler, Sheldon (1996), Algèbre linéaire Done Right, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98258-2
  • (FR) Herstein, I. N. (1975), Sujets en algèbre (2e éd.), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-01090-1

Articles connexes

  • La décomposition d'une matrice
  • LU décomposition
  • QR décomposition
  • matrice de Hessenberg
  • matrice diagonale
  • Procédé d'élimination de Gauss

liens externes