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la Procédé de Lax-Wendroff, nommé d'après les mathématiciens Peter Lax et Burton Wendroff, est un méthode numérique sur la base différences finies, tenté de résoudre d'une manière approximative équations ou systèmes d'équations différentielles hyperbolique dérivées partielles, comment lois de conservation, avec une précision du second ordre dans l'espace et le temps.[1] Il est une méthode explicite temporelle, dans laquelle la valeur de la solution approchée à un instant donné dépend explicitement que par les valeurs de la solution instantanée précédente.

introduction

Le procédé de Lax-Wendroff, ainsi que d'autres méthodes de différences finies, prévoit la division de l'équation de domaine espace-temps dans un ensemble discret de points (engrener) , par une série de discrétisation spatiale et un intervalle de discrétisation temporelle (ou pas de temps) ; les dérivées partielles (spatiale et temporelle) présents dans l'équation différentielle sont ensuite remplacés par leurs approximations discrètes, faciles à calculer numériquement. La méthode permet enfin de calculer en chaque point de la engrener une valeur approchée la vraie solution .[2]

formulation

Lax-Wendroff Méthode
Stencil par rapport à la méthode Lax-Wendroff.

La formulation la plus simple du procédé est de trouver une solution approchée de l'équation linéaire advection:

est une grandeur scalaire, variable dans le temps et l'espace, qui constitue l'inconnue du problème, et Il est la vitesse locale de propagation dans le milieu. en développant en Taylor la vraie solution en fonction de la variable temporelle présente:

En remplaçant les dérivées temporelles des dérivées spatiales correspondantes,

et

l'expansion Taylor de la solution devient:

Enfin, les dérivées spatiales sont remplacés par leurs approximations de différences finies respectives centrées,

et

pour obtenir la formulation finale du procédé:

[3]

Le schéma de Lax-Wendroff permet ainsi d'obtenir une approximation de la solution de l'équation différentielle dans chaque point spatial domaine instantanément de la connaissance de la solution à trois points instantanément : . Une représentation variante du procédé on obtient, en définissant le nombre de Courant :

[1][4]

stabilité

La stabilité de la méthode, ainsi que la précision et la convergence numérique de la solution dépend clairement de la discrétisation spatio-temporelle exploité. En particulier, il est nécessaire d'éviter que l'application de la méthode ne conduit pas à une croissance incontrôlée de la solution ou fortement des résultats incorrects. La stabilité de la méthode Lax-Wendroff est assurée en adoptant des mesures de temps assez petites pour maintenir la nombre de Courant toujours moins de 1 valeur absolue[5]: Les meilleurs résultats sont toutefois obtenus lorsque la valeur absolue du nombre est proche de Courant 1.[6]

notes

  1. ^ à b Taureau, p. 173
  2. ^ Taureau, pp. 163-167
  3. ^ LeVeque, Méthodes numériques, p. 101
  4. ^ (FR) Procédé Lax-Wendroff, sur Encyclopédie de mathématiques, Springer. Récupéré 24 Novembre, 2016.
  5. ^ (FR) Gilbert Strang, La précision et la stabilité pour (PDF), De MIT ouvert Courseware, Massachusetts Institute of Technology. Récupéré 24 Novembre, 2016.
  6. ^ LeVeque, Méthodes des volumes finis, pp. 100-102

bibliographie

  • (FR) Peter Lax et Burton Wendroff, Les systèmes de lois de conservation, en Communications sur les mathématiques pures et appliquées, vol. 13, nº 2, Wiley, mai 1960 pp. 217-237, DOI:10.1002 / cpa.3160130205.
  • (FR) Eleuterio F. Toro, Riemann solveurs et méthodes numériques pour la dynamique des fluides, 3e éd., Berlin, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-25202-3.
  • (FR) Randall J. LeVeque, Méthodes numériques pour les lois de conservation (PDF), 2e éd., Bâle, Birkhäuser, 1992 ISBN 3-7643-2723-5.
  • (FR) Randall J. LeVeque, Méthodes des volumes finis pour les problèmes hyperboliques, Cambridge, Cambridge University Press, 2002 DOI:10.1017 / CBO9780511791253, ISBN 0-521-00924-3.
  • (FR) Charles Hirsch, The Space-Centré explicites Schémas de second ordre, en Calcul numérique des flux internes et externes, vol. 2, John Wiley, 1990 ISBN 0-471-92452-0.

Articles connexes

liens externes