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à règle Cavalieri-Simpson ou La règle de Simpson Cela signifie une méthode de calcul numérique approché intégrales définies de la forme:

.

Comme avec tous les processus pour le calcul approximatif des intégrales définies et pour d'autres calculs de approchées fonctions d'une variable réelle, un tel procédé est utilisé pour des fonctions dont ne connaissent pas la fonction primitive, ou dont les caractéristiques primitives ne connaîtra à partir de laquelle vous ne pouvez pas déduire une expression par des fonctions élémentaires qui peuvent raisonnablement être utilisés pour les calculs nécessaires. Ces méthodes approximatives sont également utilisées dans les cas où on ne sait pas une expression analytique de la fonction à intégrer, mais nous ne connaissons que certaines de ses valeurs (obtenues expérimentalement ou provenant d'autres sources), ou lorsque seulement connu son diagramme (tracé avec le « l'aide d'outils spéciaux ou obtenus à partir de la littérature).

La formule de quadrature ou de la méthode de paraboles

La règle de Simpson
la règle de Simpson se rapproche de l'intégrale de la fonction requise (en bleu) avec celle de la parabole qui interpole dans les noeuds (en rouge)

La règle de Cavalieri-Simpson prévoit la subdivision de l'intégration d'intervalle en sous-intervalles et la substitution dans ces sous-intervalles de la fonction integrand par des arcs de parabole, qui est, par polynômes quadratiques.

Nous considérons, par conséquent, ; pour la simplicité de représentation suppose à la fois tout au long de la période d'intégration .

divisé dans un nombre pair n = 2m sous-intervalles de chacun d'amplitude . Nous introduisons les notations alors

pour les sous-intervalles ultérieurs extrêmes et pour les valeurs que la fonction assume dans leur correspondance.

Nous considérons également l'intervalle partiel formé par deux sous-intervalles consécutifs ayant comme extrêmes et ; en plus de cela, nous considérons également les prochaines m-1 intervalles partiels ayant comme extrêmes respectivement et , ... , et .

Dans chacun de ces intervalles partiels, nous proposons de remplacer avec une fonction entière rationnelle de second degré. Commençons par le premier intervalle partiel et choisissez un polynôme de la forme

de sorte que son intégrale entre et diffère de celle de la fonction d'origine d'une quantité qui peut être négligeable.

L'expression polynomiale de remplacement est un générique avec parabola axe vertical de symétrie. Pour déterminer la valeur des constantes A, B et C, nécessite le passage de la parabole pour coordonner les points:

.

De cette façon, la parabole est déterminée uniquement par la résolution du système d'équations linéaires suivant:

,

à partir de laquelle il apparaît:

Pour la valeur intégrale de ce polynôme nous écrivons Il est:

= .

En remplaçant les valeurs de A, B et C obtenues à partir du système, vous obtenez la valeur approximative

.

Nous opérons d'une manière similaire au calcul des intégrales de polynômes dans les prochaines m-1 intervalles partiels; puis additionner les valeurs obtenues sur les m intervalles partiels et pour tout l'intervalle d'intégration est obtenue à une valeur approchée que nous noterons J pour l'intégrale à évaluer: .

Donc:

.

Cette formule est appelée formule Knights-Simpson ou paraboles en quadrature de formule.

erreurs

La méthode de quadrature Cavalieri-Simpson, comme toute méthode d'approximation numérique, est susceptible d'être erreurs. Outre l'erreur due au remplacement de la fonction à intégrer avec une séquence d'approximation de fonctions polynômes du second degré, intrinsèques à la méthode utilisée, on trouve également des erreurs en raison de l'arrondissement des valeurs qu'ils sont concrètement calculés avec des outils qui fonctionnent inévitablement avec une précision limitée.

Pour minimiser ce dernier, vous devez:

  • choisir une étape d'intégration avec un nombre fini de décimales;
  • effectuer des calculs avec un certain nombre de décimales au moins deux fois celle des chiffres que vous voulez dans le résultat exact.

Montrant l'erreur intrinsèque du procédé , il peut être démontré que:

,

où k est une constante qui dépend de la fonction à intégrer, et l'intervalle d'intégration. La règle Cavalieri-Simpson est donc une méthode de quatrième ordre.

De cette erreur peut être très utile de connaître un supplément; l'évaluation précise de cette augmentation est pas simple, car il nécessite de calculer la dérivée quatrième de la fonction integrand. Pour de nombreuses fonctions intégrandes dates de calcul analytiquement la quatrième dérivée est très cher; pour des fonctions connues empiriquement la même évaluation de la quatrième dérivé lui-même constitue un problème de calcul approximatif tendanciellement lourde. Par conséquent généralement pour l'évaluation de l'erreur, il est préférable de recourir à méthodes empiriques: Le plus connu et utilisé est le le procédé de réduction de moitié du pas.

De ce qui a été observé précédemment qui suit, en appliquant la méthode de Cavalieri-Simpson avec une étape d'intégration h, nous obtenons par l'approximation qui note maintenant affecté par une erreur que nous écrivons .

En utilisant l'étape d'intégration , vous obtiendrez la valeur approximative avec l'erreur: .

Les rapports suivants:

,

à partir de laquelle il apparaît:

.

Parce que, au lieu des approximations de l'arrondissement, est donnée la meilleure approximation par , le remplacement de la valeur de k en , vous obtenez:

.

Il peut donc être considéré comme la valeur absolue de :

comme augmentation d'erreur absolue .

Fait intéressant, si les approximations et coïncident pour les premiers chiffres décimaux r, il est:

ce qui est de dire que les premières places décimales r ne sont pas affectés par l'erreur.

On peut donc conclure que si deux approximations d'une intégrale, dont le second a obtenu en divisant par deux le StepSize utilisé pour calculer la première, coïncident pour les premières places décimales r, ces chiffres peuvent être considérés comme exacts.

De manière plus générale, si vous voulez savoir une approximation d'une seule pièce avec l'assurance de l'exactitude pour un nombre donné s de chiffres décimaux, vous devez calculer un certain nombre d'approximations successives, chaque réduction de moitié du temps de l'étape, jusqu'à obtenir deux chevauchant les chiffres de.

On observe cela peut arriver pour arriver à la première paire de valeurs approchées qui ont plus de chiffres qui coïncident de satisfaisants. Nous avons également observer cette procédure avec la réduction d'amplitude des sous-intervalles, en plus de plus de temps de calcul nécessaire, vous pouvez avoir des erreurs d'arrondi loin d'être négligeable en raison de l'augmentation du nombre d'opérations nécessaires; vous pouvez également obtenir de voir des situations qui augmentent l'erreur globale avec le rétrécissement de l'étape d'intégration. Pour cette raison, ils ont été conçus des méthodes d'intégration numérique « adaptative » (ou d'adaptation) qui augmentent le nombre de sous-intervalles que dans les zones indiquées par un test d'erreur approprié.

note historique

La règle est l'un des meilleurs exemples de Loi de Stigler: Il semble que cette règle était déjà connue Torricelli, alors que pour certains chevaliers Il avait déjà fait ses preuves dans 1635 sa formulation géométrique. aussi Kepler Il l'a traitée: en fait, de nombreux livres allemands appellent Keplersche Fassregel 100 ans avant Simpson. Néanmoins au niveau international est donnée aujourd'hui selon la désignation anglo-saxonne La règle de SimpsonMême dans cet environnement avait déjà été utilisé par exemple par Gregory. D'autre part, contrairement à leurs prédécesseurs, Simpson Thomas Il est maintenant surtout connu pour cette règle même si il avait seulement le mérite de formaliser une méthode connue déjà largement.

Articles connexes

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