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en mathématiques et plus particulièrement dans analyse numérique, la procédé sécante et Procédé de tangentes méthodes sont largement utilisées pour le calcul d'une équation approximative de la solution de forme .

La méthode sécante est une méthode simple convergente, mais est généralement très lent, nécessite de nombreuses étapes pour atteindre une précision acceptable, alors que la méthode de tangentes est plus rapide (donne de bons résultats en quelques étapes).

si 0} « />, donc si est décroissante et concave (fig. 1), ou si Il est de plus en plus et convexe.

Procédé selon la des pots de vin Il construit une succession La diminution qui se rapproche de excès la racine.

Procédé selon la sécante Il construit une succession de plus en plus qui se rapproche de défaut la racine.

si donc si Il est croissante et concave (fig. 3) ou Il est en baisse et convexe.

Procédé selon la des pots de vin Il construit une succession de plus en plus qui se rapproche de défaut la racine.

Procédé selon la sécante Il construit une succession La diminution qui se rapproche de excès la racine.

Ainsi, utilisés ensemble, les deux méthodes, pour fournir des approximations en excès et par défaut la seule racine de l'équation .

Il est donc possible, où la fonction vérifier des hypothèses, d'utiliser simultanément les deux méthodes, itérer l'application d'entre eux jusqu'à ce que les valeurs approchées par excès ou par défaut choix ε une précision supérieure moins attrayante.

premier exemple

Exemple 1: Déterminer les racines de moins que .

La fonction est définie et continue , De plus, étant donné que et la courbe rencontre l'axe de la au moins un point.

L'étude des première et deuxième dérivées et Il est obtenu que la fonction a un maximum relatif de , un minimum relatif à et un oblique tangentielle fléchie et ensuite la courbe coupe l'axe de à un moment donné. aussi et 0} « />; donc . les conditions sont réunies afin de pouvoir utiliser les méthodes de tangentes et sécantes.

L'application de la méthode des tangentes, étant augmenter la portée et convexe Ce sont des valeurs approximatives pour excès. Il trace la tangente , telle qu'elle est en ce que la fonction et la dérivée seconde sont d'accord. En utilisant ce qui suit relation de récurrence vous obtenez

comme il est , itérer vous obtenez plus

d'où et alors Il est la racine approximative pour moins d'excès après 4 itérations.

En appliquant la méthode de la sécante, étant et les points de l'intervalle auquel il passe le premier sécante, par la formule

Elles sont obtenues les valeurs suivantes arrondies:

la seconde passe sécante passant par les points et être d'où

après 6 itérations, étant , est la racine par défaut approximative à moins . En comparant les valeurs obtenues avec les deux procédés, on constate que la valeur Il est précis à quatre décimales.

deuxième exemple

Exemple 2: Déterminer les racines de moins que

les deux . Vous écrivez l'équation sous la forme et compte tenu des fonctions d'équations et .

De la représentation graphique dans le même système de référence cartésien des deux fonctions, il est évident que les deux courbes se coupent en un seul point , Par conséquent, l'équation admet une racine unique, qui est l'abscisse du point et d'être 0} « /> et , cette tige appartient intervalle . L'étude des première et deuxième dérivées, la fonction Elle est décroissante et convexe dans l'intervalle ; puis en utilisant le procédé de des pots de vin, à compter de dans lequel la fonction et la dérivée seconde d'accord que nous obtenons par défaut, les approximations suivantes

comme il est on obtient que la valeur approximative de défaut de la racine inférieure il est après 3 itérations.

L'application de la méthode de sécante être et les points d'intervalle auquel il passe le premier sécantes, vous obtenez les valeurs approximatives suivantes pour excès: .

La seconde passe sécante passant par les points et être d'où

 ;

être , Il est la racine approximative pour excès moins après 4 itérations; Cette valeur concorde avec celle trouvée avec la méthode des tangentes, mais avec un plus grand nombre d'itérations.

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