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en analyse numérique, l 'itération point fixe ou itération fonctionnelle est une méthode pour trouver la racines d'une fonction, à savoir pour résoudre une équation sous la forme .

si Ce sont deux fonctions telles que , alors vous avez ssi , à savoir Il est la racine de si et seulement si elle est point fixe de . Le procédé consiste à résoudre l'équation où l'expression générique de il est:

On peut donc voir que , ou la fonction de itération, Il peut être choisi de différentes façons. Par exemple, si vous pouvez choisir:

La solution se rapproche de (un point choisi initiale) avec succession:

propriété

la convergence la méthode est garanti par certaines hypothèses posées par certains résultats théoriques.

Tout d'abord, s'il y a un intervalle de telle sorte que:

puis Il a un point fixe unique (C'est contraction) Et si la séquence définie ci-dessus converge vers elle linéaire.

Cependant, il est pas toujours facile de déterminer une telle gamme. Toutefois, si le comportement est familier au voisinage du point fixe, on peut exploiter le théorème de Ostrowski. Si:

  • , où Il est un voisinage du point fixe

puis 0} « /> de telle sorte que si la séquence converge vers . Notez que si la seconde hypothèse est pas vérifié, ou il y a divergence ou vous ne pouvez pas dire quoi que ce soit (dans le cas d'égalité). La vitesse de convergence est augmentée par 'pour différentiabilité.

D'autres méthodes

la Procédé de chaîne et newton Vous pouvez être considéré comme des cas particuliers d'itération de point fixe, en utilisant comme fonctions d'itération respectivement:

bibliographie

  • (FR) Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Analyse numérique, 3e, éditeurs PWS, 1985 ISBN 0-87150-857-5.

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