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en analyse numérique, la formules de Newton-Cotes sont un groupe de formules dans adoperate 'intégration numérique (Aussi appelé équarrissage) Ce sont fondées sur l'évaluation de la integrand n+1 points équidistants. Les formules sont ainsi nommés en l'honneur de Isaac Newton et Roger Cotes.

Les formules de Newton-Cotes peuvent être utiles si l'on connaît la valeur du integrand points équidistants. Si vous pouvez modifier le point où il est évalué en intégrant, alors il est préférable d'utiliser d'autres méthodes telles que quadrature de Gauss.

description

On suppose que la valeur d'une fonction fa Il est connu en points équidistants xla, pour la = 0, ..., n. Il existe deux types de formules de Newton-Cotes: la forme « fermée », qui évalue la valeur de la fonction à tous les points, et la forme de « ouvert », qui ne tient pas compte des valeurs de la fonction dans ses extrêmes. La formule de Newton-Cotes degré de fermeture n Il est défini comme suit:

xla = h la + x0, avec h (appelé étape) Égal à (xn - x0) /n. la wla ils sont appelés poids.

Comme le montre la dérivation suivante, les poids proviennent de Lagrange polynômes. Cela signifie que ne dépendent que de xla et non par la fonction fa. les deux L(x) Le polynôme d'interpolation de Lagrange pour les points connus (x0, fa(x0)), ..., (xn, fa(xn)); puis:

La formule de Newton-Cotes de qualité ouverte n Il est défini comme la place:

Les coefficients de pondération sont obtenus d'une manière similaire à la formule fermée.

Instabilité pour très large

Les formules de Newton-Cotes peuvent être calculées pour un degré n. Cependant, n très grande, la formule peut être affectée par la phénomène Runge, où l'erreur croît de façon exponentielle si n Il est élevé. Dans ce cas, il est généralement très stable adoptent des méthodes telles que le quadrature de Gauss avec des points d'intégration non à égale distance. Si alors même ceux-ci ne peuvent pas être utilisés, car le integrand est seulement défini des points équidistants, le phénomène Runge peut être évité en utilisant un composé de formule, tel que décrit ci-dessous.

formules de Newton-Cotes fermées

Le tableau énumère quelques-unes des formules de type fermé Newton-Cotes.

S'il vous plaît noter que la notation Il est une abréviation de et .

degré nom commun formule erreur terme
1 Réglez le trapézoïde
2 La règle de Simpson
3 La règle de Simpson
(3/8 factor)
4 règle Boolean

L'exposant de l'étape h le terme d'erreur indique l'erreur de taux de diminution d'approximation. Le dérivé de fa dans le montre le terme d'erreur qui polynômes peuvent être intégrés exactement (c.-à zéro erreur).

Formule ouverte Newton-Cotes

Le tableau énumère quelques-unes des formules de Newton-Cotes de type ouvert.

Formule ouverte Newton-Cotes
degré nom commun formule erreur terme
0 Règle du rectangle
1 Aucun nom
2 Règle de Masina '
3 Aucun nom

formules faites

Pour obtenir une précision des formules de Newton-Cotes, le rythme h Il doit être faible; Cela signifie que l'intervalle d'intégration Il sera trop petit, ce qui est toujours vrai. Pour cette raison, nous choisissons généralement de calculer l'intégrale divisant l'intervalle en plusieurs petits sous-intervalles, auquel il applique de temps en temps les formules de Newton-Cotes, puis en additionnant les résultats. Ce processus est appelé formule composée.

On suppose pour diviser l'intervalle en à égale distance par les sous-intervalles de points , .

degré

nom commun

formule

erreur terme

1 Réglez le trapézoïde
2 La règle de Simpson
3 La règle de Simpson

(3/8 factor)

4 règle Boolean

Articles connexes

  • intégral
  • Analyse numérique

liens externes