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Finite Element Method
Simulation en utilisant l'analyse par éléments finis de l'impact d'un véhicule contre une barrière asymétrique

en mathématiques, la méthode des éléments finis (FÉM, Anglais Finite Element Method) Il est technique numérique adapté à rechercher des solutions approchées aux problèmes décrits par équation différentielle partielle la réduction de celui-ci à un système de équations algébriques.

Bien qu'il participe à certaines régions avec d'autres stratégies numériques limitées (méthode des différences finies, méthode des volumes finis, Méthode élément limite, Méthode de la cellule, procédé spectral, etc.), le procédé FEM conserve une position dominante dans le panorama des techniques numériques pour l'approximation et représente le noyau de la plupart des codes d'analyse automatique disponibles sur le marché.

En général, la méthode des éléments finis se prête très bien à la résolution d'équations aux dérivées partielles lorsque le domaine a une forme complexe (par exemple le châssis d'une automobile ou un moteur d'avion), lorsque le domaine est variable (par exemple, une réaction solides variables d'état avec les conditions aux limites), la précision requise lorsque la solution est pas homogène sur le domaine (dans un crash test sur un véhicule à moteur, la précision requise est plus grande au voisinage de la zone d'impact) et lorsque la solution désirée manque de régularité. En outre, le procédé est à la base de 'Analyse par éléments finis.

histoire

La méthode des éléments finis est origine dans la nécessité d'une résolution de problèmes complexes analyse élastique et structural dans le domaine de 'travaux publics et aéronautiques.[1] Les débuts de la méthode remonte aux années 1930-35 avec les œuvres de A. Col R. et J. W. Duncan,[2] l'introduction d'une forme primitive de l'élément structurel dans la résolution d'un problème de aeroelasticity, et les années 1940-41 avec des œuvres de Alexander et Hrennikoff Richard Courant, où les deux, bien que dans des approches différentes, partage l'idée de diviser le domaine du problème en sous-domaines de forme simple (éléments finis).[3]

Cependant, la naissance réelle et le développement de la méthode des éléments finis est dans la deuxième moitié de l'année '50 avec la contribution fondamentale de M. J. (Jon) Turner Boeing, qui a formulé et mis au point la méthode directe Rigidité, la première approche dans le domaine des éléments finis du continuum. Les travaux de Turner dispersées sur le génie aérospatial des zones étroites, en particulier dans le génie civil, à travers le travail au John Argyris'Université de Stuttgart (Qui avait proposé une unification formelle de la même période de méthode de flexibilité et Procédé de déplacement systématiser le concept d'ensemble des relations d'un système structurel à partir des éléments constitutifs des rapports), et Ray W. Clough à l 'Université de Berkeley[4] (Qui a parlé d'abord FEM et dont la collaboration avec Turner a donné lieu à l'œuvre célèbre,[5] considéré comme le début de FEM moderne).

D'autres contributions fondamentales à l'histoire de la FEM sont celles de BM Irons, qui sont dus aux éléments isoparamétriques, le concept de la forme, la fonction de test de patch et le solveur frontal (un algorithme pour la résolution du système linéaire algébrique), RJ Melosh, qui encadrait la méthode des éléments finis dans les méthodes Ritz-classe Rayleigh et systématisé sa formulation variationnelle (une exposition rigoureuse et célèbre des fondements mathématiques de la méthode a également été fournie dans le 1973 par Strang et Fix[6]) Et E. L.Wilson, dont le développement de la première (et largement imitée) logiciels FÉM open source qui a donné origine à SAP.[7]

en 1967 Zienkiewicz a publié le premier livre sur éléments finis. Depuis le début des '70, FEM a trouvé Étaler stratégie de modélisation numérique des systèmes physiques dans une grande variété de disciplines d'ingénierie, par exemple électromagnétisme,[8][9] dynamique des fluides, calcul de structures et géotechnique. De plus en plus au fil des années, je suis né beaucoup des codes FEM commerciaux (NASTRAN, Adina, ANSYS, ABAQUS, SAMCEF, etc.) Encore disponible.

opération

Finite Element Method
échantillon engrener ou grille de calcul; Notez que la grille est plus dense près de l'objet d'intérêt.

La méthode de la FEM Elle s'applique aux corps physiques susceptibles d'être divisé en un certain nombre, très grande, d'éléments de forme définie et les dimensions. Dans le continuum, chaque élément fini est considéré comme un domaine de l'intégration numérique des caractéristiques homogènes.

La principale caractéristique de la méthode des éléments finis est la discrétisation par la création d'une grille (engrener) Composé de primitive (éléments finis) Sous forme chiffrée (triangles et quadrangles pour les domaines 2D, tétraèdres et six côtés pour les domaines 3D). Sur chaque élément est caractérisé par cette forme de base, la solution du problème est supposé être exprimé par combinaison linéaire de ces fonctions fonctions de base ou fonctions de forme (fonctions de forme). Il convient de noter que, parfois, la fonction est approchée, et ne sera pas nécessairement les valeurs exactes de la fonction calculée dans les points, mais les valeurs qui fournissent la moindre erreur sur la totalité de la solution.

L'exemple typique est celui qui fait référence à des fonctions polynômes, de sorte que la solution globale du problème est approximée avec une fonction polynomiale en morceaux. Le nombre de coefficients qui identifie la solution sur chaque élément est donc lié au degré du polynôme choisi. Ceci, à son tour, régit la précision de la solution numérique trouvée.

Dans sa forme originale, et encore plus répandue, la méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre les problèmes posés sur les lois constitutives linéaires. Typique des problèmes d'efforts - déformation dans le domaine élastique, la diffusion de la chaleur à l'intérieur d'un corps de matériau. Certains plus sophistiqués vous permettent d'explorer le comportement des matériaux, même dans le domaine fortement non-linéaire, en supposant type plastique de comportement ou des solutions visco-plastiques. De plus, ils considèrent parfois des problèmes accouplé, à l'intérieur duquel vous pouvez être résolues simultanément plusieurs aspects complémentaires liés à chaque compte propre à l'analyse e.m.f. séparée. Typique dans ce sens, le problème géotechnique d'un comportement de sol donné (champ géomécanique) en présence d'infiltrations d'eaux souterraines (hydrogéologiques).

La méthode des éléments finis fait partie de la classe des Galerkin, dont le point de départ est le soi-disant formulation faible un problème de différentiel. Cette formulation, basée sur le concept de dérivé dans le sens de distributions, de Lebesgue et moyenne pondérée (au moyen de ladite approprié fonctions fonctions de test), Il a le grand avantage d'exiger une solution réaliste aux caractéristiques de régularité pour (presque) tous les problèmes d'ingénierie et est donc outil descriptif très utile. Les méthodes de type Galerkin sont basées sur l'idée de l'approximation de la solution du problème sous forme faible écrite par combinaison linéaire des fonctions (les fonctions de forme) élémentaire. Les coefficients de cette combinaison linéaire (aussi appelée « degrés de liberté ») deviennent les inconnues du problème algébrique obtenu par discrétisation. Les éléments finis se distinguent par le choix des fonctions polynomiales de base en morceaux. D'autres méthodes telles que les méthodes spectrales Galerkin utilisent plusieurs fonctions de base.

Étapes pour obtenir le modèle

Pour arriver au modèle aux éléments d'extrémité sont des adeptes des phases fondamentales, dont chacune implique l'insertion d'erreurs dans la solution finale:

  • Modélisation: cette phase est présent dans toutes les études de génie: il va du système physique à un modèle mathématique, qui fait abstraction de certains aspects de l'intérêt du système physique, en se concentrant sur quelques variables globales d'intérêt et par « filtrage » le reste. Par exemple, dans le calcul du moment de flexion d'un faisceau ne prennent pas en compte les interactions au niveau moléculaire. Le système physique si le complexe est divisé en sous-systèmes. En l'espèce, il n'est pas nécessaire, ou vous pouvez penser qu'il est une partie appartenant à un système plus complexe, comme un navire ou d'un avion. Le sous-système sera alors divisé en éléments finis dont un modèle mathématique sera appliqué. Contrairement à des traités d'analyse, il suffit que le modèle mathématique choisi est approprié pour les simples géométries d'éléments finis. Le choix d'un type d'élément dans un programme de logiciel équivaut à un choix implicite du modèle mathématique qui est la base. L'erreur qui peut conduire à l'utilisation d'un modèle doit être évaluée par des tests expérimentaux, opération généralement coûteuses en temps et en ressources.
  • Discrétisation: dans une simulation numérique de manière est nécessaire de passer d'un nombre infini de degrés de liberté (de leur propre « continuum » condition) à un nombre fini (situation personnelle de la grille). La discrétisation, dans l'espace ou dans le temps, a pour but d'obtenir un modèle discret caractérisé par un nombre fini de degrés de liberté. Une erreur est entré en désaccord avec la solution exacte du modèle mathématique. Cette erreur peut être correctement évalué s'il existe un modèle mathématique approprié de la structure entière (donc préférable d'utiliser que l'analyse FEM) et en l'absence d'erreurs de calcul numérique, cela peut être considéré comme vrai à l'aide des ordinateurs électroniques.

Caractéristiques des éléments

Chaque élément est caractérisé par:

  • Taille: 1D, 2D, 3D.
  • Noeuds: les points d'éléments précis qui identifient la géométrie. Sur chaque noeud d'élément est associé à la valeur d'un champ ou de gradient qui affecte la structure entière. Dans le cas d'éléments mécaniques, ce domaine est celui des réactions de contrainte et déplacements (déplacements).
  • Les degrés de libertéLes valeurs possibles que peuvent prendre les gradients des champs ou dans les noeuds, les deux noeuds adjacents ont les mêmes valeurs.
  • Forces sur les nœuds: forces externes appliquées sur les nœuds ou l'effet des forces de réaction. Il existe une relation de dualité entre les forces et les réactions contraignantes. Cela dit le vecteur des forces extérieures sur un noeud et le support DOF assume la linéarité entre et :
Il est appelé matrice de rigidité (matrice de rigidité). Ce rapport identifie la dualité entre les forces externes et les déplacements. Le produit scalaire Il est associé à la valeur du travail effectué par les forces extérieures. La force des termes, la réaction de retenue et matrice de rigidité, Ils sont étendus au-delà de la portée des structures mécaniques dans lesquelles l'analyse FEM est née.
  • propriétés constitutives: les propriétés et le comportement. A la suite sera défini un matériau isotrope à comportement élastique linéaire, définie module et un coefficient de Poisson de Young.
  • Résoudre un système d'équations, y compris non linéaire numérique réglé par le processeur. Il est introduit une erreur numérique négligeable dans le cas des systèmes linéaires tels que dans l'analyse.

Type d'éléments finis

Tous les programmes qui utilisent la méthode des éléments finis pour l'analyse de la structure sont équipées d'un bibliothèque d'éléments finis (dans une gamme élastique linéaire, mais aussi dans le élasto-plastique) à une dimension, deux dimensions et en trois dimensions, afin de faciliter la modélisation d'une structure réelle.

Les plus courants sont les suivants.

  • Unidimensionnelle:
    • canne ou tige de piston ou botte: élément rectiligne 2 noeuds qui a une rigidité uniquement à des décalages et sont donc adaptés pour transmettre uniquement des forces axiales. Il est normalement utilisé pour modéliser des structures en treillis.
    • faisceau ou faisceau: Élément rectiligne 2 noeuds capables de transférer les noeuds auxquels il est connecté à tous les raideurs 6 degrés de liberté et donc adaptés pour transmettre tous les types de contraintes (forces axiales et de cisaillement et de flexion et de torsion moments). Il est utilisé pour modéliser des structures de châssis. Certains programmes possèdent également l'élément poutre sur le sol élastique à Winkler pour la modélisation de création des faisceaux sur fondation élastique.
    • ressort ou limite ou ressort: Élément rectiligne à deux noeuds munis axiale et / ou la rigidité de rotation utilisé pour modéliser différents types de contrainte élastique tels que les déplacements imposés;
    • rigide ou Rigel: Élément rectiligne 2 noeuds infiniment rigides utilisés pour modéliser une liaison infiniment rigide entre deux éléments finis;
  • Deux dimensions:
    • feuille ou contrainte plane: Elément plat 3 ou 4 nœuds pour les états de contrainte plane qui ne comporte que deux degrés de liberté pour le noeud correspondant au mouvement de translation dans son plan (membrane de rigidité) et donc adaptés pour transmettre seulement les efforts le long de son plan. Il ne transfère pas de rigidité pour les autres degrés de liberté. Utilisé pour la modélisation des structures chargées dans leur propre plan;
    • plaque: Elément plat 3 ou 4 noeuds qui ne possède que trois degrés de liberté par noeud correspondant à la translation perpendiculaire à son plan et des rotations par rapport aux deux axes situés dans le plan (rigidité à la flexion), et donc aptes à transmettre la contrainte de cisaillement uniquement et 2 moments de flexion. Il ne transfère pas de rigidité pour les autres degrés de liberté. Pour la modélisation infléchi structures à deux dimensions. Certains logiciels possèdent également la plaque d'élément sur le terrain à la Winkler utilisé pour la modélisation des dalles de fondation sur fondation élastique;
    • plaque-plaque ou coquille ou coquille: Elément plat 3 ou 4 nœuds constitué par l'élément de plaque de recouvrement et la plaque d'élément et qui présente donc à la fois la rigidité à la flexion que la membrane.
    • déformation plane ou déformation plane: Elément plat 3 ou 4 nœuds pour les états de déformation plane qui possède seulement deux degrés de liberté pour le noeud correspondant au mouvement de translation dans son plan. Il ne transfère pas de rigidité pour les autres degrés de liberté. Il est utilisé pour la modélisation des structures dans lesquelles l'épaisseur est répandue par rapport à d'autres dimensions et où l'on peut envisager empêché de déformation dans l'épaisseur et par conséquent l'état de déformation est considéré comme un plan dans l'analyse des sections de tuyaux ou de murs de soutènement.
    • axisymétrique: Elément plat 3 ou 4 noeuds qui représente un secteur d'un rayonnement d'une structure de symétrie radiale. Cet élément est utilisé pour le façonnage de structures solides obtenues par la rotation de laquelle le fruit est une symétrie radiale pour analyser un seul secteur de l'amplitude d'une structure rayonnante. Chaque noeud dispose de deux degrés de liberté correspondant au mouvement de translation dans son plan;
  • En trois dimensions:
    • brique ou élément solide: De 4 à 27 éléments noeuds qui ne possède que trois degrés de liberté pour le noeud correspondant aux trois traductions. Il ne transfère pas de rigidité pour les autres degrés de liberté. Il est un élément fini capable de façonner les éléments de structure solide, dans lequel à-dire il y a une taille négligeable par rapport à l'autre. Cet élément est capable de lire l'état de stress unidimensionnelle. Utilisé par exemple pour modéliser la stratigraphie du sol.

nœuds

La définition de la géométrie du modèle qui idéalise la structure réelle est effectuée en plaçant les noeuds ou points nodaux, la structure en correspondance avec les points caractéristiques.

Lors du positionnement des noeuds sur la structure doit garder à l'esprit quelques considérations:

  • le nombre de noeuds doit être suffisant pour décrire la géométrie de la structure. Par exemple, en correspondance greffé poutre-poteau, les changements de direction, etc.
  • les noeuds doivent également être positionnés au niveau des points et les lignes de continuité. Par exemple, lorsque la modification des caractéristiques des matériaux, les caractéristiques des sections, etc.
  • vous pouvez placer les noeuds dans les points inutiles pour la définition géométrique de la structure, mais pour laquelle vous voulez connaître les déplacements et les contraintes internes
  • si le logiciel ne l'a pas doit être positionné en correspondance des noeuds de points où des charges concentrées sont appliquées ou masses ganglionnaires
  • vous devez mettre des nœuds dans tous les points que vous voulez lier
  • dans le cas des structures en deux dimensions (plaques, dalles, etc.) fractionnement (engrener) Dans deux dimensions des éléments finis doit être suffisamment dense pour saisir les changements de tension ou de déplacement dans des régions importantes pour l'analyse.

formulation dimensionnelle pour les équations du second ordre

La fois la date d'une équation différentielle aux dérivées partielles sous la forme:

restreint au domaine et les conditions aux limites:

Il est un vecteur contenant les points et Il est un vecteur contenant les valeurs de la fonction à ces points. Les conditions exprimées sous cette forme sont également appelés Dirichlet. Vous pouvez également prévoir des conditions aux limites de la valeur prise par la dérivée première de la fonction, et dans ce cas ils sont appelés conditions Neumann.

La méthode des éléments finis comprend la multiplication des deux côtés par une fonction de test :

L'intégration des deux côtés du domaine conduit à:

En tirant parti 'intégration par parties vous pouvez étendre le premier terme:

puis:

L'approximation par éléments finis est une approximation Galerkine et que vous exécutez à ce point discrétisation l'espace de domaine qui admet une base laquelle elle est généralement constituée par des polynômes par morceaux de degré peu élevé de.

La discrétisation du domaine dans le cas unidimensionnel en divisant à des intervalles avec et

fonctions Ils sont généralement exprimés sous la forme:

La formulation faible fournit ainsi pour la détermination de de telle sorte qu'il est vérifié pour l'égalité:

Date d'adhésion l'espace avec la base , vous pouvez écrire tels que:

En faisant la substitution et la collecte, vous obtenez:

Cette égalité peut être exprimée sous forme matricielle:

où les termes des matrices sont exprimées comme suit:

La résolution du système linéaire permet la détermination des coefficients . Ces coefficients permettent la détermination de l'approximation dans l'espace discrétisé localisée dans le domaine demandé.

Cas de coefficients constants et approximation du centre de gravité

En général, la détermination des matrices de rigidité et de la charge nécessite l'utilisation de méthodes en quadrature pour le calcul de la valeur des intégrales définies. et intéressant cas particulier, cependant, est celui dans lequel les coefficients différentiels de l'équation sont des constantes. Dans ce cas, il est possible d'une résolution exacte et l'équation différentielle particulièrement efficace. En supposant fait:

les intégrales qui composent les éléments des matrices deviennent:

fonctions pour former la substituant valeur correcte, il est possible de trouver une formulation exacte des intégrales en tant que variables fonction choisie. Considérant qu'un seul élément constituant le domaine, entre les noeuds i et , avec les définitions données ci-dessus pour les fonctions vous obtenez une matrice carrée de rigidité 2x2 du type:

De telles matrices sont les seuls non nul, compte tenu de la forme de la fonction . Ils vont faire la matrice de rigidité , qui est ensuite ajusté à partir des matrices défini ci-dessus.

La même procédure peut être mise en oeuvre pour la matrice des charges obtenir:

En composant les matrices des éléments de la manière correcte d'atteindre la forme finale du système linéaire:

Une telle solution simple est possible uniquement en cas de coefficients constants, comme mentionné précédemment. En cas de coefficients non constants, il est possible de se contenter d'une solution très approximative, mais des calculs simples et rapides en effectuant un centre de gravité des fonctions d'approximation, on considère que la valeur moyenne de la fonction au niveau des extrémités de chaque élément:

Cette approximation permet d'exploiter les résultats viennent d'atteindre même en cas de coefficients non constants, le prix d'une précision moindre.

Exemple dimensionnelle

Un problème typique, appelé parfois le problème de la 'l'équation de Poisson, Vous pouvez trouver la fonction dont laplacien Elle est égale à une fonction ce jour. L'équation de Poisson dans l'espace unidimensionnel est écrit comme suit:

avec différents types de conditions aux limites, y compris par exemple:

Les conditions aux limites en général peuvent être divisés en trois groupes:

  • Conditions d'Dirichlet: Condition imposée à la fonction (ordre 0).
  • Conditions de Neumann: Condition imposée à la première dérivée de la fonction par rapport à la frontière sortant normal (commande 1).
  • Conditions de Robin: condition imposée à la combinaison linéaire de la valeur de fonction et de sa dérivée (condition mixte).

Par exemple, s'il est fait référence aux conditions de Dirichlet:

La forme variationnelle du problème se trouver appartenant à un approprié espace fonctionnel des fonctions qui disparaissent au niveau du bord de telle sorte que pour chaque fonction le même espace fonctionnel que vous avez:

L'approximation de la méthode des éléments est obtenue en introduisant une subdivision d'intervalle en sous-intervalles sur chacun desquels la solution sera supposée polynôme. Cela vous permet d'écrire la solution approchée, appelée , par combinaison linéaire des fonctions de base de l'espace des fonctions polynomiales en pièces, comme indiqué :

les coefficients sont les inconnues du problème discrétisé. L'utilisation des fonctions de test comme ses fonctions de base, il est obtenu en fait un ensemble de n équations:

indiquant avec la matrice:

avec les éléments de support et les éléments du vecteur:

le problème algébrique à résoudre est simplement donnée par le système linéaire:

la matrice Elle est appelée « matrice de rigidité. »

Comparaison avec la méthode des différences finies à

la méthode des différences finies (FDM, anglais Méthode des différences finies) Il est une méthode alternative pour se rapprocher des solutions de équation différentielle partielle. Les principales différences entre les deux méthodes sont les suivantes:

  • La caractéristique la plus attrayante de l'élément fini est la capacité à gérer des géométries complexes avec une relative facilité. Les différences finies sont, dans leur forme de base, limitée à une gestion simple des géométries, telles que des rectangles et des modifications qui ne sont pas complexes.
  • La méthode des éléments finis est mise en œuvre plus simple.
  • Il existe plusieurs façons de considérer la différence finie approche un cas particulier éléments finis. Par exemple, la formulation des éléments finis est identique à la formulation des différences pour la 'l'équation de Poisson si le problème est discrétisé en utilisant une forme rectangulaire avec chaque rectangle divisé en deux triangles.
  • La qualité de l'ajustement des éléments finis est supérieure à la quantité approche de différence finie.

En général, la méthode des éléments finis est la méthode de choix pour tous les types d'analyse pour la mécanique des structures (par exemple, pour calculer la déformation et la tension des organes rigides ou la dynamique des structures). en La dynamique des fluides Au contraire, il a tendance à utiliser d'autres méthodes telles que la méthode des volumes finis. Les problèmes de la dynamique des fluides nécessitent la discrétisation du problème dans un grand nombre de cellules ou noeuds (dans l'ordre de millions), de sorte que le coût de la solution favorise des approximations plus simples et l'ordre mineur pour chaque cellule. Cela est particulièrement vrai pour les problèmes aérodynamiques pour avions et des automobiles ou des simulations météorologiques.

La méthode de Galerkin

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Galerkin.

La méthode Galerkin consiste en l'utilisation des mêmes fonctions utilisées sous la forme d'approximation à l'intérieur des sous-intervalles mentionnés ci-dessus, comme des fonctions de pondération pour calculer les moindres carrés résiduels appliqués à la formulation faible du problème structurel.

notes

  1. ^ Phillippe G. Ciarlet, La méthode des éléments finis pour Elliptic problèmes, Amsterdam, Hollande du Nord-1978.
  2. ^ Felippa, Carlos A., Un aperçu historique de la matrice d'analyse structurelle: une pièce en trois actes, en ordinateurs Structures (Volume 79, Numéro 14, Juin 2001, Pages 1313-1324), Juin 2001.
  3. ^ Waterman, Pamela J., Maillage: le pont critique, en Magazine Desktop Engineering, 1 Août de 2008.
  4. ^ Ray W. Clough, Edward L. Wilson, Au début de la recherche des éléments finis à Berkeley (PDF) edwilson.org. Récupéré le 25 Octobre, 2007.
  5. ^ M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin, et les L.C.s Topp, Rigidité et des fléchissements Analyse des structures complexes, en Journal des sciences de l'aéronautique, vol. 23, 1956, pp. 805-82.
  6. ^ Gilbert Strang, George Fix, Une analyse de la méthode des éléments finis, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1973.
  7. ^ Carlos A. Felippa, Introduction à la FINIS Méthodes Element, Notes de cours pour le cours Introduction à éléments finis Méthodes au Département des sciences du génie aérospatial de l'Université du Colorado-Boulder., De 1976.
  8. ^ Carlo Lonati, Gian Carlo Macchi; Dalmazio Raveglia, Crosstallk dans le réseau téléphonique de la technique de commutation PAM les deux effet de peau. Approche avec la méthode des éléments finis, Conférence sur le calcul des champs magnétiques - Actes; Laboratoire d'Elecrotechnique, Grenoble, 1978.
  9. ^ John Leonidas Volakis, Arindam Chatterjee, C. Leo Kempel, méthode des éléments finis pour électromagnétisme: les antennes, les circuits micro-ondes, et des applications de diffusion, en Wiley IEEE Press, 1998.

bibliographie

  • (FR) G. Allaire et A. Craig: Analyse numérique et optimisation: Introduction à la modélisation mathématique et simulation numérique
  • (FR) K. J. Bathe: Méthodes numériques en analyse par éléments finis, Prentice-Hall (1976).
  • (FR) J. Chaskalovic, Eléments finis Méthodes de Sciences de l'ingénieur, Springer Verlag, (2008).
  • (FR) O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu: La méthode des éléments finis: la base et Fundamentals, Butterworth-Heinemann, (2005).

Articles connexes

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