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en mathématiques, un différences finies est une expression sous la forme d'un différence entre les valeurs d'un fonction en deux points spécifiques:

Si la différence finie est divisée par vous obtenez un quotient. Il est généralement désigné par la lettre grecque suivi du montant qui subit un tel changement (par exemple, ).[1]

définition

Une différence avec centre et étape Il est défini comme suit:

Ils étudient principalement quatre types de différences finies:

  • la différences finies avant (Différence Forward):
  • la Contrairement à la renverse (Différence arrière):
  • la centrée différences finies (Différence centrale):
  • la Contrairement à sur les médias (Différence moyenne):

La différence finie sont dans le centre de 'analyse numérique pour l'approximation de dérivé puis en résolution numérique des équations différentielles.

Relation avec les dérivés

la dérivé une fonction en Il est défini comme la limite la quotient:

si , au lieu de zéro, il prend une valeur fixe, le terme à droite, vous pouvez écrire:

de sorte que la différence finie avant divisée par se rapproche de la valeur de la dérivée pour petit.

L'erreur relative à cette approximation peut être obtenue par le Le théorème de Taylor. supposant un fonction différentiable en continu l'erreur est:

et la même formule à la différence applique sur l'envers:

Cependant, la différence finie centrée, fournit approximation plus précise. Dans ce cas, l'erreur est proportionnelle au carré de l'étape , si la fonction est différentiable avec continuité à deux reprises, ou la dérivée seconde Il est continue pour chaque :

méthode des différences finies

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: méthode des différences finies.

La différence finie peut être utilisée pour discrétiser un équation différentielle ordinaire. Un exemple classique est la méthode d'Euler, qui utilise à son tour les trois types de différences finies présentées.

opérateur

un opérateur l'agent abstrait sur un espace fonctionnel que, étant donné une fonction renvoie la différence finie avec le centre et l'étape Il est appelé différences de l'opérateur. Ce avant par exemple, peut être exprimé sous la forme:

est le 'opérateur de décalage et l 'identité. De même, vous pouvez décrire les deux autres types.

Toute différence de l'opérateur à ceux vu linéaire et satisfait règle de Leibniz.

la rapport Taylor alors il peut être exprimé en termes symboliques comme:

est le 'opérateur différentiel qui transforme une fonction en son dérivé.

propriété

Par analogie avec les règles de dérivation, pour un opérateur aux différences que nous avons:

  • si il est constant
  • linéarité:
avec et Ils sont des constantes.
  • Règle du produit:
  • Règle du quotient:
  • règles de sommation:

Les différences finies d'ordre supérieur

Vous pouvez définir des approximations pour les dérivés de l'ordre successif itérativement.

Par exemple, en utilisant les différences centrées pour se rapprocher nous obtenons la différence par rapport au deuxième centrée sur:

De manière plus générale, la différence finie de ' -ième ordre sont définis comme respectivement:

Si nécessaire, vous pouvez mélanger les trois types de centrage rapprochement successivement à différents points.

propriété

  • à et positif:
  • Règle de Leibniz:

généralisations

Une différence finie généralisée est souvent appelée:

Il est le vecteur de ses coefficients. Une autre généralisation se produit lorsque la somme est remplacée par une série infinie, l'obtention de la différence infinie.

Vous pouvez également les coefficients les employés du point , ou , en obtenant ainsi une différence « pondérée ». Vous pouvez également dépendre à partir du point , ou : Ceci est utile par exemple pour définir différents modules de continuité.

L'opérateur est généralisé aux différences formule d'inversion de Möbius sur un partiellement ensemble ordonné.

Newton interpolation

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: polynomiale Newton.

La formule d'interpolation Newton, introduite par Newton dans Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 1687[2] est l'analogue discret dell 'développement de Taylor continue:

qui s'applique à chaque fonction polynomiale et pour beaucoup fonctions analytiques. L'expression:

est le coefficient binomial, tandis que:

est le descendant factoriel. la vide produit 1 applique également.

notes

bibliographie

  • (FR) Richtmeyer et D. Morton, K.W., (1967). Différence Méthodes de problèmes aux valeurs initiales, 2e éd., Wiley, New York.
  • (FR) H. Levy et Lessman, F., Équations aux différences finies, Dover, 1992 ISBN 0-486-67260-3.
  • (FR) Ames, W. F., (1977). Méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles, Section 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1.
  • (FR) Hildebrand, F. B., (1968). Les équations et simulations différences finies, Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Articles connexes

liens externes