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la ajustement de courbe Il est le processus de construction d'une courbe ou d'un fonction mathématique, qui a le meilleur match à un certain nombre de points attribués, peut-être soumis à des limitations. L'ajustement de la courbe peut impliquer à la fois la 'interpolation, où il est nécessaire une correspondance exacte avec les points de données, ou de grattage (lissage), Lorsqu'une fonction est construit plat qui s'intègre à peu près avec les données. Un sujet connexe est le 'Une analyse de régression, qui se concentre plus sur les problèmes de inférence statistique ainsi que il existe une incertitude en ce qui concerne le fait qu'une courbe coïncide avec les données observées qui présentent des erreurs aléatoires. Les courbes d'approximation peuvent être utilisées comme une aide à visualiser les données, pour représenter les valeurs d'une fonction où il n'y a pas de données disponibles, et pour résumer la relation entre deux ou plusieurs variables. L 'extrapolation Elle se réfère à l'utilisation d'une courbe d'approximation le long de la plage de données observées, et est soumise à un plus grand degré d'incertitude, car ils peuvent indiquer la méthode utilisée pour construire la courbe autant indiquant les données observées.

Différents types d'ajustement de courbe

Les lignes et les courbes polynomiales que les données de point approximatif

polynôme d'ajustement de courbe d'une fonction sinusoïdale
d'ajustement de courbes polynomiales de point générées avec une fonction sinusoïdale.
La ligne rouge est le polynôme de première instance, la ligne verte est celle du second degré, la ligne orange est celle du troisième degré et bleu quatrième année

Il commence par une équation polynôme de première instance:

Ceci est une ligne avec coefficient angulaire à. Nous savons que deux points peuvent être reliés par une ligne. Ainsi, une équation polynomiale de premier degré est une approximation précise de deux points quelconques.

Si vous augmentez l'ordre de l'équation du polynôme du second degré, on obtient:

Cela exactement approximation d'une simple courbe par trois points.

Si vous augmentez l'ordre de l'équation du troisième degré polynôme, on obtient:

Cela se rapproche exactement quatre points.

Une déclaration plus générale pourrait dire qu'il se rapproche exactement quatre contraintes. Chaque valeur peut être un point, une coin, un courbure (Qui est la réciproque du rayon d'un cercle osculateur) Et les valeurs d'angle de courbure sont très souvent ajoutés à la fin d'une courbe, et dans ce cas sont libellés conditions finales. conditions finales identiques sont fréquemment utilisés pour une transition plane entre les courbes polynomiales contenues dans un seul polygonal. Vous pouvez ajouter des valeurs d'ordre supérieur, tels que variation de la courbure. Cela peut par exemple être utile pour la conception des rampes d'accès à l'élévation de comprendre les forces appliquées à une machine lorsque les conditions suivantes courbe et placer correctement les limites de vitesse raisonnables. Ayant à l'esprit que, l'équation polynomiale du premier degré peut être une approximation exacte pour un seul point et un angle similaire et le troisième degré équation polynomiale peut également être approximation exacte de deux points d'une valeur angulaire et une valeur de courbure. Il y a beaucoup d'autres combinaisons de valeurs pour ces équations polynomiales et celles d'un ordre supérieur.

Si vous avez plus d'u n + 1 contraintes (soit n le degré du polynôme), on peut encore passer la courbe polynomiale par ces contraintes. Une approximation exacte par rapport à toutes les contraintes, il est pas certain, mais il peut se produire, par exemple dans le cas du polynôme du premier degré qui se rapproche exactement trois les points colinéaires. en général, cependant, certaines méthodes sont parfois nécessaires pour évaluer chaque approximation. le procédé de moindres carrés Il est un moyen de comparer les écarts.

On peut maintenant se demander pourquoi vous voulez obtenir une correspondance approximative quand on pourrait en fait augmenter le degré du polynôme et obtenir le match exact. Il y a plusieurs raisons:

  • même s'il existe une correspondance exacte, cela ne signifie pas nécessairement que vous pouvez le trouver. en fonction de l'algorithme utilisé peut être rencontré des cas divergents, où ne peut être calculé l'approximation exacte, ou peut-être un besoin de trop de temps de calcul pour trouver la solution. Dans ces cas, il peut également être forcé d'accepter une solution approchée.
  • Parfois, vous préférerez peut-être l'effet du hasard par rapport à des données discutables dans un exemple, plutôt que de déformer la courbe pour les rapprocher exactement.
  • la phénomène Runge: La hausse des polynômes d'ordre peuvent être très oscillatoire. Si vous passez une courbe par deux points A et B, on pourrait attendre à ce que la courbe étapes un peu près du milieu de A et B. Cela ne peut pas se produire avec des courbes polynomiales d'ordre supérieur, ils peuvent avoir des valeurs de grandeur ils sont extrêmement positifs ou négatifs. avec un polynôme d'ordre inférieur, la courbe a une plus grande probabilité de coïncider avec le point milieu (il est toujours garanti qu'un polynôme de première instance passe à travers le point médian).
  • Le polynôme d'ordre inférieur ont tendance à être plat et les courbes polynomiales d'ordre élevé ont tendance à être tordu. Pour le mettre avec précision, le nombre maximum de ogivale /points d'inflexion dans une courbe polynomiale est n-2, où n Il est de l'ordre d'équation polynomiale. Un point d'inflexion est un endroit sur la courbe où vous sautez d'un positif à un rayon négatif. On peut dire aussi que c'est un point où il passe de 'débordement d'eau calme de l'eau. Notez qu'il est seulement possible ce haut polynôme d'ordre sont tordu, Ils peuvent aussi être plat, mais cela, il n'y a aucune garantie, sinon pour les courbes polynôme d'ordre inférieur. Un polynôme pourrait avoir quinze degrés, environ treize points d'inflexion, mais peut aussi avoir douze, onze, ou tout autre nombre à zéro.

Maintenant que vous avez parlé en utilisant un degré trop faible pour l'approximation exacte, il sera également discuter de ce qui se passe si le degré de la courbe polynomiale est plus élevée que nécessaire pour une correspondance exacte. Cela est mauvais pour toutes les raisons énumérées ci-dessus pour le polynôme d'ordre élevé, mais en même temps conduit à un cas où il a un nombre infini de solutions. Par exemple, un polynôme de premier ordre (une ligne), contraint à un seul point, au lieu des deux habituelles, il peut donner des solutions infinies. Cela impose le problème de la façon de comparer et de choisir une seule solution, cela peut être un problème à la fois pour le logiciel pour l'être humain. Pour cette raison, habituellement la meilleure chose est de choisir le niveau le plus bas possible pour une correspondance exacte avec toutes les contraintes, et dans le cas d'un grade inférieur, voir si une correspondance approximative est acceptable.

Pour plus de détails, voir la page des 'interpolation polynomiale.

Montage des autres courbes aux données

Dans certains cas, vous pouvez également utiliser d'autres types de courbes comme conique (Arcs circulaires, elliptiques, paraboliques et hyperboliques) ou fonctions trigonométriques (Tel que sinus et cosinus). Par exemple, les trajectoires des objets sous l'influence de la gravité suivent une trajectoire parabolique, en ignorant la résistance à l'air. Par conséquent. il peut être judicieux de faire correspondre une trajectoire à une courbe parabolique. Les marées suivent des trajectoires sinusoïdales, de sorte que les données sur les points de marée doivent être associés à une onde sinusoïdale, ou la somme de deux ondes sinusoïdales de différentes périodes, si vous voulez examiner à la fois les effets du Soleil et de la Lune.

Montage contre montage géométrique algébrique des courbes

Pour une analyse algébrique des données, essayage signifie généralement essayer de trouver la courbe qui minimise la déviation verticale (à savoir, l'axe des y) d'un point de la courbe (à savoir le "approximation quadratique ordinaire). Cependant, pour les applications graphiques et l'image géométrique approprié essaie de fournir la meilleure courbe visuelle; qui, habituellement, cela signifie tâtons pour réduire au minimum la distance orthogonale de la courbe (à savoir la régression orthogonale), ou autrement pour inclure des écarts sur les deux axes d'un point de la courbe. L'ajustement géométrique ne sont pas populaires car ils nécessitent généralement des calculs non-linéaires et / ou réitérés, même si elles ont l'avantage d'un résultat plus esthétique et précis.

Assemblage d'un cercle avec un ajustement géométrique

Coope[1] aborde le problème d'essayer de trouver le meilleur ajustement visuel d'un cercle à un cercle de points de données en deux dimensions. Le procédé transforme élégamment le problème non linéaire généralement un problème linéaire qui peut être résolu sans l'utilisation de méthodes numériques itératives, et il est donc plus rapide d'un ordre de grandeur des techniques précédentes.

Assemblage d'une ellipse avec un ajustement géométrique

L'art antérieur étend également à une ellipse générique[2] l'ajout d'une étape non linéaire, le résultat est une méthode rapide, ellipses situé aussi d'aspect agréable à l'orientation et débris arbitraire.

Applications aux surfaces

Notez que bien que cette discussion est en termes de courbes en deux dimensions, une grande partie de cette logique est étendue à des surfaces en trois dimensions, chaque pièce de ce qui est défini comme un réseau de courbes paramétriques dans deux directions, généralement dénommé u et v. Une surface peut être composé d'un ou plusieurs morceaux de la surface dans toutes les directions.

logiciel

De nombreux logiciels statistiques comme R et des logiciels numériques comme GNU Scientific Library, SciPy et OpenOpt inclure des commandes pour faire d'ajustement de courbe.

notes

  1. ^ Coope, I.D., Cercle de montage linéaire et non linéaire des moindres carrés, Journal de la théorie et l'optimisation des applications Volume 76, numéro 2, New York: Plenum Press, 1993 Février
  2. ^ Paul Sheer, un assistant stéréo pour photometrology logiciel manuel, M.Sc. thèse, 1997

Articles connexes

liens externes

exécution

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