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Certains objets étudiés dans l'analyse mathématique
Graphique de l'exemple function.svg
fonctions
séquence illustration.png Cauchy
limites
Tangent à un curve.svg

dérivés
Areabetweentwographs.png
intégrales
Portrait de phase Sadle.svg
équations différentielles
TaylorCosCos.png
Fonctions multivariées
plot.jpg Complexe Couleur
Fonctions complexes
vecteur Circulation.svg
champs de vecteurs

L 'analyse mathématique Il est la branche mathématiques qui traite des propriétés qui émergent de la rupture sans fin d'un objet dense. Il est basé sur calcul infinitésimal, avec lequel, à travers les notions de limite et continuité, Les études locales le comportement d'un fonction en utilisant les outils de calcul différentiel et calcul intégral.

Présentation de la calcul concepts problématiques, telles que celle de infini et limite, vous pouvez passer à 'enquête qui lui a permis de devenir base dans diverses disciplines scientifiques et techniques (de science naturelle tous 'ingénierie, dall 'informatique tous 'économie), Où il est souvent combiné avec l 'analyse numérique.

Histoire du calcul

analyse mathématique
Gottfried Wilhelm Leibniz

Le calcul est né au cours de la seconde moitié de XVIIe siècle, grâce à Isaac Newton et Gottfried Leibniz que quelle que soit introduit les concepts de base de calcul infinitésimal. Dans un premier temps l'analyse mathématique a la représentation géométrique en plan cartésien tout fonctions, pour tenter de répondre aux questions sur le calcul des zones géométriques et les caractéristiques d'un courbe. L'analyse du développement XVIIIe siècle Il a également été fortement motivée par physique conduisant à l'élaboration et à l'élaboration de mécanique rationnelle.

Depuis la fin de XVIIIe siècle Il a introduit le concept de limite, passant d'interprétation intuitive sur la base de subdivisions successives, déjà mis en place, en Vème siècle avant JC, de philosophe Elée Zenone dans la formulation de ses apories (Paradoxes de Zénon), Jusqu'à l'analyse mathématique de nos jours, qui a introduit des méthodes pour le calcul de la valeur limite. Cela a conduit à une révolution complète du matériel et des notions rianalizzò théorèmes ne plus utiliser des excuses géométrique mais basée sur des concepts de nombre et ensemble. Cela a permis une analyse plus approfondie des géométrie non-euclidienne et des espaces taille supérieur à trois.

des concepts mathématiques

La théorie des ensembles

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: La théorie des ensembles.
analyse mathématique
Définit A, B et leur intersection

Le concept de ensemble Elle constitue l'élément fondamental de cette partie mathématiques dont elle est la La théorie des ensembles. Ce terme désigne chaque groupe, la collecte, l'agrégat éléments, indépendamment de leur nature.

D'une importance fondamentale pour l'approche du sujet est la connaissance d'un minimum de La théorie des ensembles, en particulier les transactions possibles entre les, et la notion de fonction. Ensuite, pour le rendre un peu approche plus concrète à la question, nous présentons les séries numériques:

  • nombres naturels
  • entiers
  • nombres rationnels
  • reals
  • nombres complexes

et les concepts de base de topologie, en particulier ceux de distance dans l'espace métrique et rond.

fonctions

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Fonction (mathématiques).
analyse mathématique
Une fonction associée à des éléments d'un ensemble X d'un ensemble d'éléments Y

Le concept de fonction il est essentiel à des fins d'analyse mathématique. Grâce à des opérations plus avancées (comme celui de limite) est défini un certain nombre de propriétés clés très utiles dans les développements théoriques et applications pratiques. Parmi eux, vous pouvez être inscrit:

Un rôle important est joué par le soi-disant fonctions élémentaires, tels que:

Importance particulière, dans XX siècle, Ils ont été avancées dans l'étude des espaces fonctionnels, considéré comme spécial espaces vectoriels topologique Dimension infinie, dans le cadre du 'analyse fonctionnelle

L'opération limite

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Limite (mathématiques).
analyse mathématique
Limite d'une fonction, une valeur après S la fonction reste confinée dans un intervalle de 2 et il tend vers l'infini L.

Le concept de limite, dans l'analyse fondamentale, il a été défini conformément à 800, mais il est entendu intuitivement par les mathématiciens du calibre de Wallis, Euler, Bernoulli, newton, Leibniz et même il semble avoir Archimede Il avait compris intuitivement. La limite est, autrement dit, une valeur à laquelle la valeur d'une fonction se rapproche (sans atteindre nécessairement) que l'argument se rapproche de zéro ou l'infini, ou tout autre numéro. Par exemple, . En fait, si l'on augmente de plus en plus , Il sera plus proche de zéro.

La limite d'un fonction ou succession peut:

  • un nombre fini (comme ci-dessus pour la )
  • être infini (par exemple, )
  • ne pas exister (par exemple, la fonction , faire varier de n, est toujours soit -1, +1, -1, +1 ...)

série

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: série mathématique.

A travers le concept d'une succession limite, il est possible de définir la somme d'un nombre infini d'éléments. Par exemple, vous pouvez donner un sens de l'expression

qui est l'une des nombreuses façons de décrire la nombre d'Euler .

Une somme infinie d'éléments est appelé série et est indiqué, en général, avec la mention suivante:

ou .

Par conséquent, placer , le nombre de Napier , avec les notations précédentes, il peut être écrit de la manière suivante

ou .

De même à ce qui se passe pour les limites, la somme des éléments infinis peut être fini, infini, ou même pas être défini comme dans le cas de la série , que Un grand nombre de.

dérivé

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: dérivé.
analyse mathématique
ligne droite tangente à une fonction en un point (en rouge). La dérivée de la fonction en ce point est le coefficient angulaire d'un tel droit

Le concept de dérivé Il occupe un rôle fondamental dans calcul infinitésimal et tout au long de l'analyse mathématique. Défini comme la limite quotient, le dérivé quantifie le type de croissance d'une fonction, et a une application dans toutes les sciences.

A travers la notion de dérivé qu'ils définissent et étudient les concepts de maxima et minima, de concavité et convexité: Le dérivé est donc un outil indispensable pour l'étude d'une fonction.

Avec une liste de règles de dérivation, Il est possible de calculer la dérivée d'une fonction définie par la combinaison des fonctions élémentaires.

Le concept de dérivé étend également à des fonctions à variables multiples, à travers la notion de dérivée partielle.

intégral

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: intégral.
analyse mathématique
Représentation graphique de l'intégrale de Riemann

L 'intégral Il est un autre instrument clé calcul infinitésimal. Il est principalement utilisé pour calculer les zones et les volumes de formes courbes, comme par exemple l 'ellipse ou une partie de plan cartésien délimitée par une fonction.

pour la théorème fondamental du calcul, l'intégrale est soit essentiellement une opération inverse à celle du dérivé. Si elle diffère, cependant, parce que, contrairement à ce qui se passe au dérivé, on n'a pas le algorithmes permettant de calculer l'intégrale d'une fonction définie par des fonctions élémentaires. Cependant, il existe de nombreux méthodes d'intégration, avec lequel pour résoudre une bonne partie des plus simples Intégrales, souvent résumée dans appropriée conseils.

À partir de XIXe siècle, le concept de l'intégrale est toujours liée à la notion de mesurer. La même définition de l'intégrale est liée à un problème fondamental de la façon de longueurs « mesure », les zones et les volumes des sous-ensembles de la ligne droite, le plan, de l'espace. Chaque réponse possible à cette question donne une définition de l'intégrale: les définitions les plus couramment utilisés sont l 'intégrale de Riemann et l 'Lebesgue.

Série Taylor

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Série Taylor.
analyse mathématique
Taylor qui se rapproche de la fonction cosinus plan complexe

la Taylor un fonction analytique écrit en termes de fonction série. Une fonction d'analyse Il est égal à:

.

est le factoriel de et Il est dérivé n-e de le point . si , la série est appelée série MacLaurin et

La série de Taylor est très important dans l'analyse car elle rend beaucoup plus facile et intégrations dérivés car ils peuvent être « terme à terme ». Si nous choisissons de tronquer la série, vous obtiendrez un polynôme qui se rapproche de la fonction. Ce polynôme est dit polynôme de Taylor. Une autre utilisation importante de la série est d'être en mesure d'étendre tout fonction analytique clairement dans un fonction holomorphe défini dans la plan complexe et cette possibilité met à votre disposition l'ensemble du mécanisme dell 'analyse complexe. Il existe d'autres développements en série, tels que, par exemple, à Laurent.

Fonction d'étude

L'étude est l'étude de la fonction de la tendance ou un graphique d'une fonction de maxima et minima mettant en évidence (relative et absolue), asymptotes (Horizontale et verticale), fléchie (Horizontale et verticale), concavité et l'aire sous, grâce à l'utilisation de ses outils d'analyse mathématique présentée ci-dessus de cette limite, dérivée et intégrale.

analyse mathématique Secteurs

calcul

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: calcul.

la calcul infinitésimal Il est le fondement de l'analyse mathématique: inclut la notion de limite et diverses applications liées à l'étude fonctions, qui peut être variable réel ou complexe. A travers la notion de limite, le calcul définit et étudie les notions de convergence un succession ou série, continuité, dérivé et intégral.

Le calcul est la base de l'analyse mathématique et est un outil utilisé dans presque tous les domaines de la mathématiques et physique et science en général.

analyse harmonique

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: analyse harmonique.

analyse fonctionnelle

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: analyse fonctionnelle.

Calcul des variations

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Calcul des variations.

théorie de la mesure

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Mesure (mathématiques).

Analyse complexe

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Analyse complexe.

Analyse non standard

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Analyse non standard.

théorie analytique des nombres

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: théorie analytique des nombres.

bibliographie

histoire

textes

  • Guido Fubini analyse mathématique leçons (Turin: édition Imprimerie nationale Company, 1920)
  • Ulisse Dini infinitésimale Leçons d'analyse. (Pisa: Nistri, 1907-1915) T.1 t. 2, la première partie t. 2, la deuxième partie
  • Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (2002): Les éléments d'une analyse mathématique, Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone (1996): Deux Analyse mathématique, Liguori Editore, Napoli, ISBN 978-88-207-2675-1
  • Walter Rudin (1953): Principes de l'analyse mathématique, McGraw-Hill Books Italie, ISBN 88-386-0647-1
  • (FR) Errett Bishop, Douglas Bridges (1985): analyse constructive, Springer, ISBN 0-387-15066-8
  • (FR) Serge Lang (1987): Calcul de plusieurs variables, 3e éd., Springer, ISBN 0-387-96405-3
  • (FR) Serge Lang (1993): Analyse réelle et fonctionnelle, 3e éd., Springer, ISBN 0-387-94001-4
  • (FR) A. W. Knapp (2005): Analyse réelle de base, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3250-6
  • (FR) V. Milovanović G. (1998): Les progrès récents dans Inégalités, Kluwer, ISBN 0-7923-4845-1
  • (FR) Nicolas Bourbaki (2004): Éléments de mathématiques. Fonctions d'un dérivé réel Ch.I variable. CH.II Primitives et. Intégrales Ch.III fonctions élémentaires. Équations différentielles. Chapitre IV portant sur Ch.V Etude locale des fonctions. l'expansion Ch.VI Generalized Taylor, formule de somme EulerMacLaurin. Ch.VII fonction Gamma., Springer, ISBN 3-540-65340-6

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