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en mathématiques, et plus précisément dans analyse complexe, la équations de Cauchy-Riemann sont deux PDEs qui expriment une condition nécessaire et suffisante pour une fonction à la fois holomorphe (Ce qui, dans le complexe, est équivalente à la condition de l'analyse, contrairement à ce qui se passe dans le domaine réel).

Une version légèrement plus générale de ces équations exprime une condition pour une fonction est harmonica.

histoire

Les équations ont été utilisées pour la première fois dans certains travaux D'Alembert en 1752. Plus tard, en 1777 Euler établir une connexion entre les équations et fonctions analytiques. cauchy Alors elle a utilisé pour construire une théorie des fonctions analytiques dans 1814 article Sur les Intégrales définies. Enfin, Riemann Il fait un large usage dans sa thèse en 1851.

définition

les deux

un fonction complexe, définie sur un ouvert la plan complexe , pour toujours les valeurs . Écrit sous cette forme, et ils sont variables royauté, tandis que et sont des fonctions réelles, définies sur interprété comme un sous-ensemble , et les valeurs réelles. Enfin, est le 'unité imaginaire.

Les équations de Cauchy-Riemann indiquent que:

la fonction il est holomorphe sur si et seulement si elle est différentiables avec dérivées partielles en continu et en vérifiant les équations

Les équations peuvent être reformulées dans le complexe comme suit:

interprétation géométrique

Les équations correspondant à la condition que jacobien est de la forme

Géométriquement, cela exprime le fait que la fonction est carte conformationnelle. En fait, une telle composition est de jacobienne rotations

et omotetie

cette harmonie

Il existe une version plus générale des équations de Cauchy-Riemann qui assure une fonction

définie sur un ouvert de les deux harmonica. Parce qu'une fonction harmonique est holomorphe ou antiolomorfa, les équations sont ceux décrits ci, ou le contraire

Ce dernier, si elles sont remplies, assure que la fonction est antiolomorfa. Une fonction différentiable avec des dérivées partielles continues est harmonique puis si et seulement si elle satisfait à ces équations ou ceux ci-dessus. Un exemple de fonction est le antiholomorphe conjugaison complexe

condition suffisante

Il est facile de vérifier que les équations de Cauchy-Riemann assurent que la fonction est harmonique, en supposant que comporte des deuxièmes dérivées partielles continues. partiellement Dérivation la première équation par rapport à et la seconde par rapport à Vous respectivement obtenus

En ajoutant les deux équations et en utilisant théorème Schwarz vous obtenez le 'équation de Laplace

qui détermine l'harmonique d'une fonction. On obtient un résultat analogue pour .

Articles connexes

liens externes