s
19 708 Pages

L 'analyse harmonique est la branche de 'analyse mathématique qui étudie la représentation des fonctions ou des signaux comme une superposition des ondes fondamentales. Il étudie et généralise la notion de série de Fourier et transformée de Fourier. Les ondes fondamentales sont appelées « harmoniques », d'où le nom « d'analyse harmonique. » Au cours des deux siècles précédents, il est devenu un sujet très vaste avec des applications dans des domaines aussi variés que traitement numérique du signal, la mécanique quantique et neurosciences.

La transformée de Fourier classique de Il est encore l'objet de recherches, en particulier la transformée de Fourier d'éléments plus généraux comme distributions tempérées. Par exemple, si vous imposez des exigences sur une distribution , vous pouvez essayer de traduire ces exigences en termes de la transformée de Fourier . la Le théorème de Paley-Wiener Il est un exemple. Le théorème de Paley-Wiener implique immédiatement que si est un distribution rien support compact (Cette définition inclut des fonctions de support compact), alors sa transformée de Fourier est jamais supporté de manière compacte. Ceci est une forme très basique de principe d'incertitude dans l'analyse harmonique.

La série de Fourier peut être facilement étudiée dans le contexte de espaces de Hilbert, qui fournit une connexion entre l'analyse harmonique et analyse fonctionnelle.

analyse harmonique abstraite

L'une des branches les plus modernes de l'analyse harmonique, ayant ses racines dans le milieu XX siècle, est le 'analyse mathématique sur groupes topologiques. La motivation centrale est le fait que les différents transformées de Fourier Ils peuvent être généralisés à une transformation fonctions groupes définis de localement compact.

La théorie des groupes abéliens Localement compact est appelé la dualité Pontryagin.

analyse harmonique étudie les propriétés de cette dualité et transformée de Fourier; et les tentatives d'étendre ces fonctionnalités dans différents domaines, par exemple pour le cas de groupes de Lie non abélien.

Dans le cas de non-abéliennes génériques des groupes localement compacts, l'analyse harmonique est étroitement liée à la théorie des représentations des groupes unitaires. Dans le cas des groupes compacts, la théorème Peter-Weyl explique comment nous pouvons obtenir des harmoniques en choisissant une représentation irréductible entre les différentes classes de représentations. Ce choix d'harmoniques jouit de certaines des propriétés utiles de la transformée de Fourier classique transformée, comme transformation en produits convolutions point, ou montrer une certaine compréhension de la structure du groupe sous-jacent.

Si le groupe est ni commutatif, ni compact, aucune théorie satisfaisante ne sait pas. Au moyen « satisfaisant » du moins l'équivalent de théorème de Plancherel. Quoi qu'il en soit ont été analysés de nombreux cas particuliers, par exemple SLn. Dans ce cas, vous avez la représentations en dimension infinie jouent un rôle crucial.

D'autres branches

  • L'étude de valeurs et vecteurs propres la laplacien sur domaines, variété et (dans une moindre mesure) graphiques Il est toujours considéré comme une branche d'analyse harmonique.
  • analyse harmonique sur les espaces euclidiens traite des propriétés de la transformée de Fourier qui n'ont pas d'analogues dans les groupes génériques. Par exemple, le fait que la transformée de Fourier est invariant par rotation. La décomposition de la transformée en ses composantes radiales et sphériques conduit à des articles comme Bessel et harmoniques sphériques.
  • Dans le cas des domaines de tube est concerné par les propriétés généralisent espaces de Hardy à des dimensions supérieures.

bibliographie

  • (FR) Elias M. Stein et Guido Weiss, Introduction à l'analyse de Fourier sur les espaces euclidiens, Princeton University Press, 1971. ISBN 0-691-08078-X
  • (FR) Yitzhak Katznelson, Une introduction à l'analyse harmonique, Troisième édition. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0; ISBN 0-521-54359-2
  • (FR) Mark Kac, Peut-on entendre la forme d'un tambour?, en American Mathematical Monthly, vol. 73, 4, partie 2, 1966, pp. 23.1.
  • (FR) Elias Stein avec Timothy S. Murphy Analyse harmonique: Méthodes réel, variables orthogonalité et Intégrales oscillatoires, Princeton University Press, 1993.
  • (FR) Elias Stein, Sujets en analyse harmonique liés à l'Littlewood-Paley théorie, Princeton University Press, 1970.
  • Yurii I. Lyubich. Introduction à la théorie des représentations des groupes Banach. Traduit de l'édition en langue russe en 1985 (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

Articles connexes

  • Analyse de Fourier
  • Séries de Fourier
  • espace Hilbert
  • transformée de Fourier

D'autres projets

liens externes