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en mathématiques, développement série Volterra Elle représente un agrandissement d'une fonctionnelle fonctionnel dynamique non linéaire et invariant dans le temps, mis au point en même temps que théorème Volterra, mathématiquement Vito Volterra.

Un système invariant dans le temps continu avec une entrée et la sortie peut être étendue en série Volterra comme:

il est appelé noyau Volterra ordre n, et il peut être considéré comme une généralisation de réponse impulsionnelle.

description

La théorie de la série Volterra peut prendre deux perspectives différentes: vous pouvez envisager un opérateur qui met en correspondance entre deux espaces de fonctions (réel ou complexe) ou peut être considéré comme un fonctionnel par un espace de fonctions (réelles ou complexes) à des nombres réels ou complexes. La seconde est plus répandue, puisqu'elle suppose la innvarianza temporelle du système.

Un système continu et invariant dans le temps avec comme entrée et en sortie peut être étendu en série Volterra que:

où:

avec et .

fonctions , ils sont appelés noyaux Intégrales de Volterra 'n-ième ordre. Il peut être considéré comme une réponse impulsionnelle d'un ordre supérieur du système.

si N Il est terminé la série est appelée tronqué. si , et N Ils sont finis alors la série est appelée double-fini.

Parfois, le terme de commande n la série est divisée par Non!, une convention qui est utile lorsque vous prenez la sortie d'un système Volterra comme l'entrée d'un second système Volterra.

temps discret

Un système discret dans le temps-invariant comme entrée et en sortie peut être étendu en série Volterra que:

où:

avec et . fonctions et Ils sont appelés noyaux de Volterra.

si Il est terminé la série est appelée tronqué. si a, b, et P Ils sont finis alors la série est appelée double-fini. si l'opérateur est causal.

Il peut prendre en considération sans perte de généralité un noyau symétrique, en fait, il est toujours possible pour la multiplication commutività symmetrise le noyau sans changer . Donc, pour un système causal avec le noyau symétrique vous avez:

Les méthodes d'estimation de noyaux de Volterra

Estimer individuellement les coefficients de Volterra est une opération complexe, car les fonctions de la base de la série de Volterra (c.-à- Ils sont liés. Cela implique le problème de la résolution simultanée d'un ensemble d'équations intégrales pour les coefficients. Pour cette raison, l'estimation des coefficients de Volterra est généralement traitée par l'estimation des coefficients d'une série de ortogonalizzata, comme la série de Wiener, et en recalculant ensuite les coefficients de la série de Volterra d'origine. D'autres méthodes couramment utilisées sont la méthode de corrélation croisée, l'algorithme exact orthogonal, la régression linéaire et l'échantillonnage différentiel.

applications

Il est utilisé comme modèle pour le comportement non linéaire analogue à Taylor, dont elle diffère de la capacité de capturer l'effet mémoire. La série de Taylor en fait une approximation de la réponse d'un système non linéaire pour une entrée donnée à un instant de temps fixe; tandis que la série de Volterra se rapproche de la réponse d'un système non linéaire qui dépend de toutes les entrées tendances temporelles. Il peut donc être considéré comme une généralisation au cas de l'opérateur non linéaire convolution.

Le développement en série Volterra a été appliquée dans les domaines de la médecine (en génie biomédical), la biologie (en neurosciences), électronique / télécommunications (pour la modélisation des distorsions de intermodulation), et les problèmes de identification. Sa principale caractéristique est sa généralité: en raison de la capacité de capturer l'effet mémoire et non-linéarité, est en mesure de représenter un large éventail de systèmes.

bibliographie

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  • (FR) Schetzen M: Les théories Volterra et Wiener des systèmes Nonlinear, New York: Wiley, 1980.

Articles connexes

  • Volterra équation intégrale
  • fonctionnel
  • réponse impulsionnelle
  • Série Taylor

liens externes