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radial réordonnancement
fonction non symétrique et son réarrangée avec le même norme

en analyse fonctionnelle, une branche de mathématiques,la réorganisation monotone Il est utilisé lorsque, étant donné une fonction générique du espace , il peut être commode de pouvoir associer une nouvelle ayant le même norme, mais plus régulière, et en particulier à symétrie radiale.

définition

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donné une avec mesurables , sa remise en ordre radial en Elle est donnée par:

Il est le volume de sphère unité et le volume de . Il est donc une sphère centrée à l'origine qui a le même volume de .

fonctions

Le radiale d'un réordonnancement fonction mesurable non négatif dont ensembles de niveau ont la taille est terminée:

t \} ^ {*}} (x) \, dt} « />

Autrement dit, la valeur de Il fournit la valeur de telle sorte que le rayon de la remise en ordre radial t \}} « /> il est . Cette définition est motivée par le fait que l'identité:

t \}} (x) \, dt} « />

Il est valable pour toute fonction non négative ; puis la définition donnée est la seule qui implique .

propriété

  • La symétrie radialeIl ressort de la définition, en fait, si puis .
  • monotonieIl ressort de la définition, en fait, si puis:
\ Omega _ {n} | x_ {1} | ^ {n} \} \ geq \ sup \, \ {t \ in [0, M), \: \, \ mu (t)> \ omega _ {n } | x_ {2} | ^ {n} \}} « />
  • semicontinuité inférieur.

théorèmes

Estimation du déclin

si est Lipschitz avec Lipschitz L constante et h> 0} « />, alors il est de l'estimation de la diminution de la mesure de sopralivelli:

démonstration

le nombre Il représente la mesure de la , à savoir:

la Lipschitz est, vous pouvez alors utiliser la formule de la co-aire (Deuxième version) avec des fonctions et , et vous obtenez:

Rappelant que et que le bord de Il est contenu dans l'ensemble , donc si vous utilisez la l'inégalité isopérimétrique nous avons:

:

la fonction diminue et monotone est un Finale Semi inférieurement, en passant donc tout 'infimum vous obtenez:

:

Mettre ensemble les relations trouvés:

et il est donc recherché des estimations.

la réorganisation de Lipschitz

les deux que . si est Lipschitz avec constante de Lipschitz alors même les Il est Lipschitz avec la même constante Lipschitz.

Norma l'ajustement

si Il est une fonction appartient à la espace , aussi son réordonnancement appartient à une région, ainsi que la norme est la même. Donc:

démonstration

Exprimant le calcul de la norme en fonction de l'étendue de sopralivelli:

Le même calcul applique à la norme de .

Norma l'ajustement

il est l'inégalité Polya-Szegô, Donc, si une fonction appartient à l'espace aussi son réordonnancement appartient à une région, ainsi que la norme du réordonnancement est inférieure ou égale à la norme de la fonction.

bibliographie

  • G.Talenti, Meilleur constante dans l'inégalité Sobolev, Annales de mathématiques pures et appliquées, Volume 110 (1976), pp.353-376.
  • (FR) Srinivasan Kesavan, symétrisation applications, Hackensack (New Jersey), World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2006, ISBN 981-256-733-X.
  • (FR) Bernhard Kawohl, Réarrangements et convexité des ensembles de niveau dans les PDE, Berlin, Springer-Verlag, 1985 ISBN 3-540-15693-3.
  • (FR) Jacqueline Mossino, Inégalités isopérimétriques et applications en physique., Paris, Hermann, 1984 ISBN 2-7056-5963-3.

Articles connexes