s
19 708 Pages

Remarque disambigua.svg homonymie - Si vous cherchez le théorème de Dini, voir théorème des fonctions implicites.

en mathématiques, la lemme de Dini Il fournit une condition suffisante pour obtenir la convergence uniforme d'un séquence de fonctions pointwise convergente en continu à un fonction continue et il a de nombreuses applications dans 'analyse mathématique et en particulier dans 'analyse fonctionnelle.

proposition

les deux un espace métrique compact et les deux un succession de fonctions continues de en de telle sorte que:

et que:

Il est une fonction continue. Ensuite, la séquence elle tend à uniformément .

succession On peut supposer monotone décroissante plutôt que d'augmenter, à savoir . En outre, la continuité de la limite Il est essentiel, comme il ressort de l'exemple simple suivant: les deux et pour . Les hypothèses du théorème sont toutes remplies (avec monotonie décroissante), sauf la continuité de la limite qui semble être la fonction définie par pour et . Cette fonction est continue sur et la convergence de la séquence peut ne pas être uniforme. Rappelons que la limite uniforme de fonctions continues est nécessairement continue.

démonstration

fixé 0 « />, pour chaque Il est défini comme le 'ensemble:

Pour la continuité de et tous il est ouvert pour chaque , et pour la monotonie succession vous avez pour chaque . En outre, il:

parce que fixe , il y a un naturel , dépendant , que .

la famille est donc un couverture ouvert et, pour la compacité , il sottoricoprimento fini , où est un sous-ensemble fini . Cela dit l'élément maximum de , pour la propriété inclusion de la famille mis en , il est et cela implique, se souvenant de la monotonie de la succession, que:

pour chaque et pour chaque . Pour l'arbitraire Nous avons la thèse.

bibliographie

  • (FR) Rudin, Walter R. (1976) Principes de l'analyse mathématique, troisième édition, McGraw-Hill. Voir le théorème 07h13 à la page 150 pour le cas où la séquence est descendante.
  • (FR) Bartle, Robert G. et Donald R. Sherbert (2000) Introduction à l'analyse, troisième édition Wiley. p 238. - présente une preuve à l'aide des jauges.

Articles connexes

  • espace compact
  • espace métrique
  • Succession de fonctions

liens externes