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en mathématiques, un fonction en valeurs royauté ou complexe définie sur un domaine (Ou, plus généralement, dans un espace topologique) On dit avec la fonction de support compact s'il a pour soutien un ensemble compact l'ensemble de définition (le support est définie comme étant la fermeture dell 'ensemble points de domaine dans lequel la fonction vous n'avez pas annulation).

Importance particulière sont des fonctions prises en charge sont aussi compacte continu ou infiniment différentiables: Dans ce cas, réduit le champ à une classe très restreinte de fonctions, a déclaré fonctions de test, qui sont principalement utilisés dans la théorie des distributions.

à partir de théorème de Heine-Borel et du soutien d'une définition de la fonction, il en résulte qu'une fonction est de support compact si elle est différente de 0 dans un ensemble fermé et borné des points.

définition

Une fonction définie sur un espace topologique est dit support compact si son soutien:

est un ensemble compact de , à-dire pour chaque famille des sous-ensembles ouverts de de telle sorte que:

il existe un sous-ensemble fini de de telle sorte que:[1]

Une classe importante de fonctions prises en charge est celle de manière compacte fonctions de test. L'espace des fonctions de test domaine de il est appelé , tandis que l'espace des fonctions de test Elle est notée , où il est nécessaire de spécifier le nombre de variables.

Il convient de noter qu'une fonction de support compact dans un domaine donné Il peut être étendu de manière naturelle à une fonction de support compact dans l'ensemble attribuer simplement une valeur de 0 à tous les points situés en dehors du domaine d'origine. De cette façon, vous pouvez penser à une fonction comme ayant un domaine dans , donc si vous aussi .

Les fonctions continues avec support compact

Une classe particulièrement importante des fonctions prises en charge est que les compact fonctions qui sont également continu. On montre que l'espace des fonctions continues à support compact sur un espace Hausdorff localement compact et des valeurs complexes est épais dans une l'espacep définie sur un espace de mesure, à condition que .[2] Cette classe de fonctions bénéficie également de la propriété que deux fonctions Ils ne diffèrent que par des ensembles de mesure de Lebesgue rien, et donc si elles sont égales presque partout alors ils sont égaux. En outre, en alignant avec l'espace , parce que est complète, elle est l'achèvement de l'espace obtenu en équipant de -métrique. Si , l'achèvement de par -Metrics est l'espace des fonctions continues qui disparaissent à l'infini.[3]

propriété

Les fonctions de support compact ont également les propriétés suivantes:

toujours fini.
  • si est un fonction absolument continue sur avec un dérivé de Radon-Nikodym , puis:
En d'autres termes, dans l'exécution de la 'intégration par parties avec une fonction de test, les termes de bord annuler.
  • La somme ou d'un produit de deux fonctions de support compact est encore support compact.

convergence

l'espace Il peut être muni d'une structure de espace topologique la définition d'un critère de convergence pour successions. Une succession de fonctions de converge vers une fonction si le support Il est à l'appui de , et si les dérivées de chaque commande converger uniformément les dérivés correspondants de .

Il est une condition de convergence très forte. En effet, une séquence convergente dans il est également convergent ponctuellement, uniformément convergente et convergente dans l'espace de p fonctions sommable pour chaque .

Exemples

  • Un exemple d'une fonction de support compact est la cloche de fonction:
défini sur tous les .
la fonction Il a un support dans le disque fermé de faisceau 1 centré en 0, est infiniment différentiable et disparaît avec tous ses dérivés pour .
fonction support compact
Le Ω de fonction dans une dimension
  • A proximité relative de la fonction en forme de cloche est donné, 0} « />, par:
Il est une constante réelle positive choisie de façon à avoir:
la fonction Il possède les mêmes propriétés de la cloche, à l'exception qu'il a un support dans le disque de fermeture du rayon . On peut montrer que ils sont approximation du delta, en ce sens que, en fonction continue à 0, qui est .
  • Une fonction importante à support compact dans une variable est obtenue à partir convolution de avec fonction caractéristique , qui est égal à 1 pour et 0 sinon. Il a donc, pour chaque 0 « />:
On voit que, pour cette fonction, ce qui suit applique:
1+ \ varepsilon \ end {cas}}} « />
donc pour dûment.

notes

  1. ^ W. Rudin, Pg 35.
  2. ^ W. Rudin, Pg 68.
  3. ^ W. Rudin, Pg 69.

bibliographie

  • (FR) Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.
    • Trad. il.: analyse réelle et complexe, . Trad Maria Laura Vesentini - Edoardo Vesentini, coll. Programme de la physique mathématique e, turin, Boringhieri, 1974 ISBN 978-88-339-5342-7.
  • (FR) K. Yosida, analyse fonctionnelle , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5

Articles connexes

  • Fonction continue
  • fonction lisse
  • fonction de test
  • fonction de coupure
  • espace compact
  • Support (mathématiques)
  • Heine-Borel Théorème

liens externes