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en mathématiques, l 'équicontinuité une famille de fonctions continues Il est la propriété de toutes les fonctions d'admettre la même Module de continuité. Le concept de équicontinuité, fréquemment utilisé dans analyse fonctionnelle, Elle est valable pour familles dénombrables des fonctions, et donc à la des séquences de fonctions.

Compte tenu de l'espace des fonctions continues sur un espace Hausdorff compact , la théorème Arzelà Ascoli indique qu'un sous-ensemble de Il est compact si et seulement si elle est fermée, limitée à l'heure et equicontinuo. De manière équivalente, si elle est equicontinuo relativement compact en avec la métrique donnée par:

En corollaire, une séquence dans est uniformément convergente si et seulement si elle est equicontinua et converge sur le temps à une fonction (pas nécessairement continu). En particulier, il est la limite en continu d'une succession de equicontinua, qui converge simplement, de fonctions continues définie sur un espace métrique ou localement compact (En général, une espace topologique généré de manière compacte). Si vous aussi ils sont holomorphe, aussi la limite est une fonction holomorphe.

la uniforme principe de bornitude Il déclare que, un espace Barreled et un espace localement convexe , chaque famille opérateurs linéaires continus sur le temps de en Il est equicontinua (et equicontinua uniformément).

définition

Siano et deux espaces métriques et une famille de fonctions définies par en .

la famille le point est equicontinua si pour chaque 0 « /> 0 « /> que pour tous et pour chaque de telle sorte que . la famille Il est equicontinua (environ ) Si elle est equicontinua sur tous les points.

la famille est equicontinua uniformément si pour chaque 0 « /> 0 « /> que pour tous et pour chaque paire de points et en de telle sorte que .

La notion de équicontinuité (uniforme) descend à partir de la notion de continuité (uniforme) Dire que toutes les fonctions des moyens continus que pour chaque 0 « />, pour chaque et pour chaque 0 « /> que pour tous de telle sorte que . C'est:

  • Dans la définition de continuité, cela dépend , et .
  • Dans la définition de continuité uniforme, cela dépend et .
  • Dans la définition de équicontinuité, cela dépend et .
  • Dans la définition de uniforme équicontinuité, que cela dépend .

De manière plus générale, quand il est l'un espace topologique, un ensemble « fonction en le point est equicontinuo si pour chaque 0 « /> le point Il est propriétaire d'un rond de telle sorte que:

Cette définition est souvent utilisée dans le cadre de espaces vectoriels topologiques.

Si vous aussi il est compact, un ensemble est uniformément equicontinuo si et seulement s'il est equicontinuo en chaque point, pour sensiblement la même raison pour laquelle la continuité et la continuité uniforme coïncident sur les espaces compacts.

D'après les définitions données il résulte que un ensemble fini de fonctions continues est equicontinuo, et que la fermeture d'un ensemble equicontinuo est equicontinua. En outre, chaque élément d'un ensemble de fonctions est uniformément equicontinuo uniformément continue, et chaque ensemble fini de fonctions uniformément continues est uniformément equicontinuo.

convergence uniforme

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Succession de fonctions.

les deux un espace Hausdorff Compact et définir un norme uniforme sur , afin qu'il devienne un espace de Banach (Donc un espace métrique). la théorème Arzelà Ascoli indique qu'un sous-ensemble de Il est compact si et seulement si elle est fermée, limitée à l'heure et equicontinuo. Il est un théorème analogue à théorème de Heine-Borel, qui indique qu'un sous-ensemble de Il est compact si et seulement si elle est fermée et limitée. En corollaire, toute séquence equicontinua uniformément bornée dans Il contient au moins un -suite convergeant uniformément vers une fonction continue de .

D'après le théorème de Ascoli-Arzelà suit également qu'une séquence dans converge uniformément si et seulement si elle converge equicontinua et à temps. De manière plus générale, une séquence Elle converge uniformément si equicontinua et converge dans un sous-ensemble ponctuellement dense à une fonction (pas nécessairement continu) de . En fait à la fois, equicontinua une succession de fonctions continues sur , et les deux 0 « />. Merci all'equicontinuità, pour chaque il y a un rond de de telle sorte que:

Merci à la densité et la compacité, il est possible de trouver un sous-ensemble fini de telle sorte que Il est l'union des quartiers pour . parce que converge simplement , là 0 « /> de telle sorte que:

N « />

Il en résulte que:

N « />

En fait, si puis pour certains et vous obtenez:

puis, est un suite de Cauchy en , puis converge grâce à l'exhaustivité.

généralisations

Les familles des opérateurs linéaires

Siano et Banach et une famille de opérateurs linéaires continus défini par en . puis equicontinua est si et seulement si:

Autrement dit, Il est uniformément borné dans norme de l'opérateur. En raison de la linéarité, en outre, Il est equicontinua uniformément si et seulement si elle est en equicontinua 0.

la uniforme principe de bornitude stipule que equicontinua est opportune si elle est limitée, c'est:

Le résultat peut être généralisé au cas où Il est localement convexe il est l'un espace Barreled.[1]

Le théorème indique également que si Alaoglu il est l'un espace vectoriel topologique puis tout sous-ensemble de equicontinuo il est relativement compact par rapport à topologie ultra-faible.[2]

espaces topologiques

Le scénario le plus général dans lequel vous pouvez définir le équicontinuité est celui de espaces topologiques, tandis que le équicontinuité uniforme, situé dans une intervalle uniforme, exige que le filtre des quartiers d'un point (uniformité) Est de toute façon comparable avec le filtre des quartiers d'un autre point.

Un ensemble des fonctions continues entre les espaces topologiques et il est topologiquement equicontinuo points et si pour tout ouvert contenant il y a les environs de et de de telle sorte que pour chaque , si l'intersection entre et n'est pas vide, il se produit . l'ensemble il est topologiquement equicontinuo le point si elle est topologiquement equicontinuo points et pour chaque . l'ensemble Il a dit equicontinuo si elle est topologiquement dans equicontinuo pour chaque

Un ensemble des fonctions continues entre les espaces uniformes et il est uniformément equicontinuo si pour chaque élément uniformité de , l'ensemble:

Il est membre de l'uniformité .

processus stochastiques

Voir stochastique équicontinuité.

notes

  1. ^ Schaefer, le théorème 4.2
  2. ^ Schaefer, Corollaire 4.3

bibliographie

  • (FR) J. A. Dieudonné, Les fondations de l'analyse moderne , Acad. Press (1961)
  • (FR) Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.
  • (FR) Helmuth H. Schaefer, espaces vectoriels topologiques, New York, Macmillan, 1966.

Articles connexes

liens externes

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