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en analyse mathématique, la critère Weierstrass, Aussi connu sous M test, est un résultat important en ce qui concerne la convergence totale (Et par conséquent, la convergence uniforme) de jeu de fonctionnalités variable complexe ou réel.

le critère

les deux un séquence de fonctions une valeur complexe. Si chaque de telle sorte que:

et vous avez:

puis la série:

converge totalement en .

Ce résultat est souvent utilisé en conjonction avec Le théorème de la limite uniforme, qui indique que la limite (par rapport à la convergence uniforme) de chaque séquence de fonctions continues est continue. Ensemble, les deux déclarations établissent que si, en plus des conditions précédentes, il est l'un espace topologique et fonctions ils sont continu sur , alors la série converge vers une fonction continue.

généralisation

Si le codominio de il est l'un espace de Banach vous obtenez une généralisation du théorème, où l'inégalité:

Il peut être remplacé par:

est le norme sur l'espace de Banach.

démonstration

les deux . Je pris avec n « />, compte tenu des hypothèses du théorème, nous avons:

La série en termes non négatifs converge, puis pour chaque 0} « /> de telle sorte que pour chaque N_ {0}} « /> Il se produit:

choisir et Il est assez grand alors:

pour chaque la succession il est cauchy en espace métrique complet , donc elle converge vers . En définissant la fonction et en laissant à dans le précédent rapport, nous avons:

N_ {0}} « />

ou converge uniformément vers .

bibliographie

  • (FR) Walter Rudin, Analyse fonctionnelle, McGraw-Hill Science / Engineering / Math, Janvier 1991 ISBN 0-07-054236-8.
  • (FR) Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, McGraw-Hill Science / Engineering / Math, juillet 1986 ISBN 0-07-054234-1.
  • (FR) Walter Rudin, Principes de l'analyse mathématique, Sciences McGraw-Hill / Engineering / Math, 1976.
  • (FR) E. T. Whittaker; G. N. Watson, Un cours d'analyse moderne, quatrième édition. Cambridge University Press, 1927.

Articles connexes

  • Série de fonctions
  • Succession de fonctions