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L 'analyse fonctionnelle Il est le domaine de la 'analyse mathématique qui traite de l'étude espaces fonctionnels. Il a ses racines historiques dans l'étude de transformée transformée de Fourier et l'étude des équations différentiel et intégrales. Le mot "fonctionnel« Il vient de calcul des variations, et il indique une fonction dont l'argument est une fonction. Son utilisation dans le sens le plus général est attribué à Vito Volterra.

Espaces vectoriels normés

De l'avis moderne, l'analyse fonctionnelle est considérée comme l'étude des espaces normés plein sur royauté ou sur complexe. Ces zones sont appelées Banach. Un exemple important est un espace de Hilbert, où la norme est induite par produit intérieur. Ces espaces sont d'une importance fondamentale dans la formulation mathématique la mécanique quantique, et l'étude de équation différentielle partielle. De manière plus générale, l'analyse fonctionnelle comprend l'étude de espaces Fréchet et d'autres espaces vectoriels topologiques non équipé d'une norme.

Un objet d'étude important dans l'analyse fonctionnelle sont les opérateurs linéaires continus définie dans les espaces de Banach et de Hilbert. Cela vient naturellement à la définition de C * -algèbre et d'autres algèbres d'opérateurs.

L'analyse fonctionnelle trouve également une application dans l'étude des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations différentielles, grâce à l'aide de l'ordinateur. Ces méthodes comprennent la Méthode Galerkin qui se rapproche et résout la formulation faible de l'équation différentielle.

Les espaces de Hilbert

Les espaces de Hilbert peuvent être classés complètement: il y a un espace de Hilbert unique à isomorphisme pour chaque cardinalité la base. Etant donné que les espaces de Hilbert de dimension finie sont inclus dans 'algèbre linéaire, et depuis morphismes d'espaces de Hilbert peuvent être divisés en morphisme entre les espaces dimensionnalité Aleph zéro (ℵ0), L'analyse fonctionnelle des espaces de Hilbert traite principalement avec le seul espace de Hilbert de dimensionnalité Aleph zéro, et ses morphismes. L'un des problèmes ouverts dans l'analyse fonctionnelle est de prouver que chaque opérateur sur un espace de Hilbert a un sous-espace approprié invariante. De nombreux cas particuliers ont été essayés.

espaces de Banach

Les espaces de Banach généraux sont beaucoup plus compliquées que les espaces de Hilbert. Il n'y a pas de définition claire de ce qui constitue une base, par exemple.

Pour tout réel p ≥ 1, est donné un exemple d'un espace de Banach par tous » fonctions mesurables second Lebesgue dont la puissance p-ième valeur absolue a intégré fini « (voir les espacesp).

Dans les espaces de Banach, une bonne partie de l'étude porte sur la double espaceL'espace de l'ensemble fonctionnel linéaire continue. Le dual du dual est pas toujours isomorphe à l'espace d'origine, mais il y a toujours un monomorphisme naturel d'un espace à son dual du dual. vue double espace.

La notion de dérivé Il est étendu à des fonctions arbitraires entre les espaces de Banach; Il est situé de telle sorte que la dérivée d'une fonction en un point donné est une carte linéaire continue.

Notions de base

Analyse fonctionnelle repose sur des résultats fondamentaux qui constituent le pilier et à partir de laquelle descend toute la théorie. Liste Li ci-dessous.

  • la théorème de Hahn-Banach. Il est pour l'extension fonctionnelle d'un sous-espace pour tout l'espace, afin de maintenir la règle. Merci à il est possible de développer de manière satisfaisante la théorie de l'espace dual topologique d'un espace de Banach X, ou l'espace de formes linéaires et continues sur X. La démonstration du théorème de Hahn-Banach repose sur 'Axiom of Choice qu'il est donc un principe fondamental dans l'analyse fonctionnelle.
  • la Théorème de Baire dont elle a pour principale conséquence le prochain résultat.
  • la uniforme principe de bornitude ou Banach-Steinhaus.
  • la Théorème application ouverte à partir de laquelle, entre autres, descend le résultat suivant.
  • la théorème du graphe fermé.
  • la théorie opérateurs linéaires continus entre les espaces de Banach et de Hilbert qui dit, par exemple, qu'un opérateur est continue si et seulement si elle est limité. Il a de nombreuses applications dans la théorie des équations différentielles linéaires et est un ingrédient clé de la formulation mathématique de la mécanique quantique. En particulier dans ce contexte d'importance que la théorie de la opérateurs compacts et théorème spectral (Il y a beaucoup) qui fournit une formule intégrale pour opérateurs normaux sur un espace de Hilbert.

Etat la logique mathématique

La plupart des espaces considérés dans l'analyse fonctionnelle ont des dimensions infinies. Pour montrer l'existence d'un la base de l'espace vectoriel pour ces espaces peuvent avoir besoin de la lemme de Zorn (Ce qui est équivalent l'axiome du choix). Plusieurs théorèmes importants utilisent théorème de Hahn-Banach qui exige lemme de Zorn dans le cas général d'un espace de dimension infinie.

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