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L 'analyse dimensionnelle est un outil conceptuel fréquemment appliqué métrologie, physique, chimie et ingénierie de comprendre les situations physiques qui impliquent grandeurs physiques d'une autre nature. Il est généralement utilisé par les scientifiques et les ingénieurs de vérifier le caractère raisonnable des calculs et des équations. Il est également utilisé pour former raisonnable hypothèse des situations physiques complexes qui peuvent être vérifiés par expériences ou de plus développé théories le phénomène. Souvent, l'analyse dimensionnelle est utilisé pour joindre les différentes quantités entre crochets, par exemple [N] = [kg] [m] / [s²].

Dimensions fondamentales

taille symbole Unités SI symbole
longueur L mètre m
Massa M kilogramme kg
temps T second s
électricité la ampère A
température thermodynamique Θ kelvin K
Quantité de substance N masse mol
intensité de la lumière J bougie CD

La taille d'un quantité physique Ils sont associés à des symboles, tels que M, L, et T représentation masse, longueur, et temps, chacun porté à un exposant rationnel.

Dans le cadre de Système international d'unités, Ils ont été définis « unités de base », chacune étant associée à une grandeur physique qui, en plus de la masse, la longueur et du temps, comprend: l 'l'intensité du courant, la température absolue, la quantité de substance et l 'intensité lumineuse.

Toutes les unités de mesure sont attribuables à ces unités fondamentales: pour chaque grandeur physique existe équation dimensionnelle qui exprime l'unité de mesure relative comme le produit de puissances des quantités physiques mentionnées ci-dessus.

Par exemple, la taille de la grandeur physique vitesse Il est la distance / temps (L/T) Et la taille d'un force Il est la distance × masse / tempo² ou ML/. L'analyse dimensionnelle est une procédure utile et puissant, qui peut être utilisé comme un contrôle de cohérence pour aider à la dérivation de l'expression ou à la vérification finale. L'analyse dimensionnelle utilise le fait que les dimensions peuvent être traitées comme des variables algébriques, à savoir les grandeurs peuvent être ajoutée ou soustraite parmi eux que si elles ont les mêmes dimensions. En outre, les termes de chaque membre d'un 'équation Ils doivent avoir les mêmes dimensions. En suivant ces règles simples, vous pouvez utiliser l'analyse dimensionnelle comme une aide précieuse pour juger a priori la forme correcte d'expression, condition sine qua non (Mais pas assez) Pour l'exactitude de la relation d'égalité est que la taille des grandeurs physiques dans les deux côtés de l'équation sont les mêmes.

Les concepts de la dimensionnalité d'une grandeur physique et unités de mesure Ils sont liés. Les unités d'une grandeur physique sont définies par convention par rapport à une norme; par exemple, peut avoir une longueur en tant qu'unité mètres, marche, pouce, miles ou micron; mais toute longueur a comme dimension L, quelle que soit les unités sont choisies pour le mesurer. La mesure d'une grandeur physique peut être exprimée en unités de mesure différentes, en passant de l'un à l'autre par Les facteurs de conversion. Par exemple: 1 = 2,54 cm, puis (2,54 cm / in) Il est le facteur de conversion (entre deux représentations, exprimées en unités différentes), la longueur de la variable physique et est lui-même dimension ou de dimension égale à 1.

Les symboles dimensionnels, tels que L, former un groupe: Il y a une identité, L0= 1; Il est l'inverse de L, soit 1 /L ou L-1, et L élevé à un exposant rationnel p Il est membre du groupe, qui a comme inverse L-p ou 1 /L élevé au même exposant p. Le fonctionnement du groupe est le multiplication, les règles normales pour le traitement des exposants.

en mécanique, la taille d'une grandeur physique peut être exprimée en termes de dimensions fondamentales M, L et T. Ce n'est pas le seul choix, mais le plus couramment utilisé. On pourrait, par exemple, choisir comme fondamentale la taille de la force, la longueur et la masse, associée à la taille F, L, M. Le choix des dimensions fondamentales est donc, au moins en partie, une convention, et se révèle être le plus utile et familier entre ceux qui vous permettent d'exprimer toutes les variables d'intérêt.

Le système international (OUI) Comme les unités de mesure, avec les choix de la taille correspondante, il est le plus largement utilisé et a remplacé la multitude de choix présents dans l'étendue (système CGS).

En dehors du système mécanique, il peut être avantageux de choisir un ensemble étendu de symboles dimensions plutôt qu'une autre, en fonction du domaine d'intérêt. En électromagnétisme, par exemple, il peut être utile d'utiliser la taille M, L, T et Q, où Q Il représente le montant de charge électrique. en thermodynamique l'ensemble de base de dimensions est souvent étendue à une dimension de la température. En chimie, le nombre de molécules est souvent impliqué et une dimension car il est également utile.

Dans sa forme la plus primitive, l'analyse dimensionnelle peut être utilisée pour vérifier la plausibilité des équations physiques: les deux côtés de chaque équation doivent être commensurable, à-dire avoir les mêmes dimensions; en d'autres termes, l'équation doit être dimensionnellement homogène. En corollaire de cette exigence résulte que, dans une expression physique significative, seule la quantité de la même taille peut être ajouté ou soustrait. Par exemple, la masse d'une souris et la masse d'une puce peuvent être ajoutés, mais la masse d'une puce et la longueur d'une souris ne peut être ajouté de manière significative. individus Quantité qui ont des tailles différentes ne peuvent pas être comparés les uns aux autres, ou utilisés dans l'inégalité: 3 m> 1 g est pas une expression correcte, ni significative.

Lorsque des quantités qui sont dimensionnés de manière similaire ou moins sont multipliés ou divisés, leurs symboles dimensionnels sont également multipliées ou divisées. Lorsque des quantités dimensions sont riches en une puissance rationnelle, la même chose se produit aux symboles liés à ces quantités.

Les sujets de fonctions exponentiel, trigonométrique et logarithmique doit être et adimensionnel scalaire. Le logarithme de 3 kg est indéfini, mais le logarithme de 3 est d'environ 0,477. Cela principalement en raison de l'exigence selon laquelle les termes de Taylor Ils doivent être de dimensions homogènes. Sujets tenseurs[1] ils sont rarement utilisés.

La valeur d'une grandeur physique dimensionnelle est écrit en tant que produit d'une unité de mesure et d'un facteur sans dimension. Si vous utilisez différentes unités de mesure dans la même expression est une condition nécessaire facteur de conversion, qui est un rapport de quantité également dimensionnée et est égale à une dimension d'unités:

Il est comme dire

le facteur est identique à la dimension, puis multiplier le résultat par le facteur de conversion ne change rien (dans l'unité). De plus, lorsque vous ajoutez deux quantités de taille similaire, mais exprimée en unités différentes, le facteur de conversion approprié, qui est une dimension, est utilisé pour convertir les quantités en unités identiques, de telle sorte que leur valeur numérique peut être ajouté ou soustrait.

Seulement de cette façon, il est important de dire que Additionnez les quantités de taille similaire d'unités différentes.

L'analyse dimensionnelle est également utilisée pour obtenir des relations entre les grandeurs physiques qui sont impliqués dans un phénomène particulier que vous voulez comprendre et caractériser. Il a été utilisé pour la première fois de cette manière en 1872 par lord Rayleigh, il essayait de comprendre pourquoi le ciel est bleu.

Un exemple simple

Quelle est la période d'oscillation une masse attaché à un ressort idéal pour une constante élastique mis en suspension dans un champ de gravitation de l'intensité ? Les quatre grandeurs ont les dimensions suivantes: [T]; [M]; [M / T ^ 2]; [L / T ^ 2].

De ceux-ci, nous pouvons former un seul produit des forces adimensionnel: = , parce que Elle implique la longueur (L). L'analyse dimensionnelle peut conduire à des déclarations fortes sur non-pertinence de certaines quantités dans un problème ou la nécessité d'autres paramètres. Si nous avons choisi assez variable pour décrire le problème correctement, ce problème peut être conclu que la période d'oscillation de la masse sur le ressort est indépendant Il est le même à la fois sur la Terre et sur la Lune. L'équation qui prouve l'existence d'un produit de forces pour notre problème peut être réécrite d'une manière tout à fait équivalente: , où Il est une constante adimensionnelle indéterminable au moyen d'une analyse dimensionnelle. Avec d'autres moyens, on obtient que .

Lorsque nous sommes confrontés à un cas où l'analyse dimensionnelle exclut une variable (dans ce cas ) Que nous vous vraiment qu'il appartient à une description physique de la situation, nous pourrions également envisager la possibilité que la variable exclue est en fait importante, et que quelque chose variable a été omis autre variable qui pourrait se combiner avec la variable rejetée pour former une quantité adimensionnelle. Toutefois, ce n'est pas le cas décrit dans l'exemple.

Lorsque l'analyse dimensionnelle conduit à une solution des problèmes où il est impliqué seulement un produit des forces adimensionnel, comme ici, il n'y a pas des fonctions inconnues, et la solution est appelée « complète ».

Un exemple plus complexe

Considérons le cas d'une corde vibrante de longueur l [] Qu'il vibre avec une amplitude A []. Le fil a une densité linéaire ρ [] Et il est étiré avec [d'une tension]. Nous voulons connaître l'énergie E [] Contenue dans le fil. On peut facilement constater que nous pouvons former deux produits de forces dans adimensionnels les variables sélectionnées.

et .

Peut-être surprenant, comme g dans l'exemple simple donnée ci-dessus, la densité linéaire du fil n'est pas impliqué dans le problème. Les deux groupes trouvés peuvent être combinées en une forme équivalente à l'équation

fa Il est une fonction inconnue, ou comme équivalente

fa est une autre fonction inconnue. Ici, la fonction inconnue implique que notre solution est incomplète, mais l'analyse dimensionnelle, cependant, nous a donné quelque chose qui ne peut être évident: l'énergie est proportionnelle à la force de tension initiale. À moins d'une analyse plus approfondie, nous pourrions procéder à des expériences pour trouver la forme de fonction inconnue fa. Mais nos expériences sont plus simples que comme ils le feraient sans l'analyse dimensionnelle. Nous avons en fait pas besoin de vérifier que l'énergie est proportionnelle à la tension. Ou peut-être que nous pourrions deviner que l'énergie est proportionnelle à , puis en déduire que . L'analyse dimensionnelle est souvent d'une grande aide dans les expériences.

Huntley Ajouté

Huntley (Huntley, 1967) dit qu'il est parfois productif d'affiner le concept de taille. Deux possibilités à cet égard sont les suivants:

  • Les composantes d'un vecteur peuvent être considérés comme des dimensions distinctes. Par exemple, au lieu d'une unité de longueur indifférenciée L, nous pourrions avoir qui représente la longueur dans la direction x, et ainsi de suite. Ce besoin découle directement de la nécessité que chaque composante de l'équation physique significative (vecteur scalaire ou tenseur) doit être cohérente dimensions.
  • La masse en tant que mesure de la quantité de matière doit être considérée comme distincte des dimensions de la masse comme une mesure d'inertie.

À titre d'exemple de l'utilité du premier raffinement, supposons que vous voulez calculer la distance un boulet de canon lors de la cuisson avec une composante de vitesse verticale et une composante horizontale , en supposant qu'il est tiré sur une surface plane. En supposant que de ne pas utiliser les longueurs directionnelles, les quantités d'intérêt sont alors , , à la fois en taille , R, la distance parcourue, avec dimension L, et g l'accélération négative de la pesanteur, avec dimension .

Avec ces quatre quantités, nous pourrions conclure que l'équation pour la plage R vous pouvez écrire:

O dimensionnellement

à partir de laquelle nous pouvons en déduire que et , ce qui laisse un membre permanent. On s'y attendait parce que nous avons deux unités fondamentales L et T et quatre paramètres, avec seulement une équation.

Cependant, si nous utilisons les longueurs directionnelles, puis Il sera dimensionné comme , comment , R comment et g comment . L'équation devient dimensionnées:

et nous pourrions complètement résoudre comme , et . L'augmentation de la puissance déductive acquise grâce à l'utilisation de la taille de la longueur directionnelle semble claire.

D'une manière similaire, il est parfois utile (en mécanique des fluides et de la thermodynamique) de faire la distinction entre la masse en tant que mesure d'inertie (masse inertielle), et la masse en tant que mesure de la quantité (masse importante). Par exemple, considérons la dérivation loi Poiseuille. Nous voulons trouver la performance du débit massique d'un fluide visqueux à travers un tube circulaire. Sans mettre une distinction entre la masse d'inertie et la masse importante que nous pourrions choisir les variables pertinentes comme:

  • le débit massique avec la tendance de la taille
  • le gradient de pression le long du tube de dimension
  • la densité de dimension
  • la viscosité dynamique du fluide de dimension
  • le rayon du tube de dimension

Il y a trois variables de base, de sorte que les cinq équations ci-dessus généreront deux variables adimensionnelles, nous pourrions prendre pour et et on exprime l'équation dimensionnelle

C et à sont des constantes indéterminées. Si l'on distingue entre la masse d'inertie avec des dimensions et de la masse importante de dimension , puis la tendance de l'écoulement et sa densité utiliseront masse substantielle, tandis que le gradient de pression et le coefficient de viscosité va utiliser la masse d'inertie. Nous avons maintenant quatre paramètres de base, et une constante adimensionnelle, afin que nous puissions écrire l'équation dimensionnelle:

où seulement C Il est une constante indéterminée (qui sera égal à avec des méthodes d'analyse dimensionnelle externes). Cette équation peut être résolue en raison de la performance de l'écoulement massique de génération loi Poiseuille.

Ajout Siano: l'analyse orientationnel

L'ajout de Huntley a des inconvénients sérieux. Il se débrouille bien avec les équations vectorielles impliquant des produits vectoriels, ou bien se débrouille l'utilisation d'angles sous forme de variables physiques. Il est souvent difficile d'attribuer les symboles L, , , les variables physiques impliquées dans le problème d'intérêt. Il invoque une procédure qui implique la « symétrie » du problème physique. Cela est souvent difficile d'appliquer de manière fiable: on ne sait pas quelles parties du problème où la notion de « symétrie » est invoquée. Il est la symétrie du corps physique sur lequel l'acte des forces ou des points, des lignes ou des zones où les forces sont appliquées? Qu'advient-il si plus d'un corps est impliqué dans symétries différentes? Considérons une bulle sphérique fixée à un tube cylindrique, où l'on veut calculer l'évolution du débit d'air en fonction de la différence de pression entre les deux parties. Quelles sont les dimensions prolongées Huntley de la viscosité de l'air contenu dans les parties connectées? Quelles sont les dimensions étendues de la pression dans les deux parties? Ils sont identiques ou différents? Ces difficultés sont responsables de l'application limitée de l'ajout de Huntley à des problèmes réels.

Les angles sont classiquement considérés comme des variables sans dimension, et donc l'utilisation d'angles sous forme de variables physiques dans l'analyse dimensionnelle donne des résultats moins importants. À titre d'exemple, considérons le problème du projectile mentionné ci-dessus. Supposons qu'au lieu des composants x- et y- la vitesse initiale que nous avions choisi le module de la vitesse v et l'angle avec lequel la balle est tirée. L'angle est classiquement considéré adimensionnel, et l'ampleur d'un vecteur n'a pas la qualité directionnelle, donc aucune variable adimensionnelle peut être composé des quatre variables g, v, R, et θ. L'analyse classique donnerait aux forces correctement g et v, mais ne donnerait pas d'informations concernant l'angle adimensionnel θ.

Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) a recommandé que les dimensions directionnelles de Huntley être remplacés par symboles orientationnels pour désigner les directions vectorielles, et aucun symbole orientationnels pour d'autres tailles. Ainsi, le Huntley devient avec L qui spécifie la taille de la longueur, et qui spécifie l'orientation. Siano montre en outre que les symboles orientationnels ont leur propre algèbre. Ensemble, avec l'exigence que , se traduit par la multiplication matricielle suivante pour les symboles d'orientation:

Notez que les symboles orientationnels forment un groupe (le Klein Group ou "viergruppe"). Dans ce système ont toujours scalaires la même orientation que l'élément d'identité, quelle que soit la « symétrie du problème. » Le vecteur de grandeurs physiques ont l'orientation attendue: une force ou une vitesse dans la direction x a l'orientation de . Pour les coins, envisager un angle θ se situant dans le plan z. Il forme un triangle rectangle dans le plan z avec θ comme l'un des angles aigus. Le côté du triangle adjacent à l'angle a ensuite orientation et le côté opposé a l'orientation . Puis, comme tan (θ) = ly / = θ + lx ..., nous concluons qu'un angle dans le plan xy doit avoir une orientation / = , qui n'est pas déraisonnable. Un raisonnement similaire à la conclusion que le péché (θ) a l'orientation et cos (θ) présente orientation . Ceux-ci sont différents, de sorte qu'il puisse être conclu (à juste titre), par exemple, qu'il n'y a pas de solution pour les équations physiques sous la forme d'un péché (θ) + b cos (θ), où a et b sont scalaire.

L'attribution des symboles orientationnels aux grandeurs physiques et la nécessité que les équations physiques sont orientazionalmente homogènes peut effectivement être utilisé d'une manière qui est analyse dimensionnelle similaire pour obtenir un peu plus d'informations sur les solutions acceptables de problèmes physiques. Cette approche prépare l'équation dimensionnelle est résolu et la façon dont vous pouvez. Si la puissance la plus faible d'une grandeur physique est fractionnée, les deux côtés de l'équation sont élevées pour que tous les pouvoirs sont tout. C'est le problème sous une « forme normale ». L'équation est alors résolu orientationnel pour donner une condition plus restrictive aux puissances inconnues des symboles orientationnels, arriver à une solution plus complète que celle qui serait obtenue avec la seule analyse dimensionnelle. Souvent, les informations ajoutées est que l'un des pouvoirs d'une certaine variable est pair ou impair.

Par exemple, pour le problème du projectile, si vous utilisez des symboles orientationnels, θ, étant dans le plan x-y aura donc la dimension et la portée du projectile R Il sera exprimé sous la forme:

sens

homogénéité dimensionnelle va maintenant générer correctement à= -1 b= 2, et l'homogénéité d'orientation exige que c est un nombre entier impair. En fait, la fonction requise de THETA qui est une série de pouvoirs de l'égalité .

On voit que la série Taylor et sont orientazionalmente homogène en utilisant la multiplication de la matrice ci-dessus, tandis que des expressions telles que et ils ne sont pas, et ont (correctement) considérés comme non-physique.

Il devrait être clair que la règle de multiplication utilisée pour les symboles orientationnels n'est pas le même que celui utilisé pour le produit croisé de deux vecteurs. Le produit croisé de deux vecteurs est égale à zéro, tandis que le produit de deux symboles identiques orientationnel est l'élément d'identité.

sens conceptuel

En conclusion, on peut constater que l'analyse dimensionnelle et les exigences pour les équations physiques homogènes reflètent dimensions l'idée que les lois de la physique sont indépendants des unités de mesure utilisées pour mesurer les grandeurs physiques. Cela signifie que, par exemple, fa = mais Il applique peu importe que le système d'unité à la fois le SI, les Anglais, les CGS ou tout autre système cohérent d'unités. L'analyse et la nécessité orientationnel des équations physiques à orientazionalmente cohérente reflète l'idée que les équations de la physique doivent être indépendants système de coordonnées utilisé.

constantes adimensionnelles

Les constantes adimensionnelles qui se posent dans les résultats obtenus, comme le C dans le problème de la loi de Poiseuille et dans le problème du printemps discuté ci-dessus, proviennent d'une analyse plus détaillée de la physique et ressortez souvent implicite de l'intégration d'une certaine équation différentielle. L'analyse dimensionnelle elle-même a peu à dire au sujet de ces constantes, mais il est utile de savoir que, très souvent, une magnitude zéro. Cette observation peut vous permettre de faire des calculs sur le phénomène d'intérêt, et être en mesure de préparer des expériences qui permettent de mesurer de manière plus efficace, ou de décider si elles sont importantes ou non.

Buckingham théorème

la Buckingham théorème Il donne la base pour le principal outil d'analyse dimensionnelle. Ce théorème décrit comment chaque processus physique peut être exprimé avec une fonction de n les variables et dimensions r adimensionnelles peuvent être décrits par une manière équivalente nouvelle fonction de n-m groupes (ou numéros) Et adimensionnel r paramètre sans dimension, où m est le nombre de dimensions de base (CIE indépendant) utilisé. Le théorème de Buckingham ne donne aucune indication sur les groupes ou sur la dimension sous forme de la fonction. sont identifiés les groupes principalement parmi ceux adimensionnels qui ont une signification physique: par exemple, le nombre de Reynolds, utilisé la mécanique des fluides visqueux, est le rapport de forces d'inertie convectif par unité de volume et les forces visqueuses par unité volume. La forme de la fonction est souvent déterminée expérimentalement.

notes

  1. ^ Hart, 1995

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Articles connexes

  • quantité physique
  • Groupe adimensionnel
  • fermi problème
  • unités naturelles
  • Buckingham théorème
  • La théorie des modèles
  • espace proche, comme un espace vectoriel sans l'élément zéro, de manière à décrire la quantité physique avec plus de précision.

liens externes

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