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L 'L'analyse de survie Il est une application de statistiques utilisé pour étudier la mortalité dans les organismes biologiques et des défaillances dans les systèmes mécaniques. Cet argument est appelé dans l'ingénierie "théorie de la fiabilitéanalyse de fiabilité « Ou », « tout en économie ou sociologie il est appelé Durée d'analyse ou modèle de durée.

Plus généralement, l'analyse de survie implique la modélisation des événements avec le temps jour; dans ce contexte, la mort ou l'échec est considéré comme un « événement » dans l'analyse de la littérature de survie. Un autre exemple de temps dans le modèle d'événement pourrait être le taux ou le temps nécessaire pour les ex-détenus de commettre un crime à nouveau après leur libération. Dans ce cas, le cas où les intérêts pourraient être le temps de commettre un crime. De nombreux concepts dans l'analyse de survie ont été expliquées par la théorie du processus de comptage qui a émergé plus récemment. La flexibilité d'un processus de comptage est qu'il permet de modéliser plusieurs événements (ou récurrents). Ce type de modèle est bien adapté à des situations différentes (par exemple, les gens peuvent être emprisonnés à plusieurs reprises, les alcooliques peuvent cesser de boire plusieurs fois, les gens peuvent se marier et obtenir le divorce encore).

L'analyse de survie tente de répondre à des questions telles que: quelle est la partie d'une population qui survivra après un certain temps? Parmi ceux qui survivent, ce sera la tendance des décès et des maladies? Ils peuvent être considérés comme des causes de décès ou d'une maladie? Dans des circonstances ou des caractéristiques particulières pourraient donc augmenter ou diminuer les chances de survie?

vous devez définir un ordre de répondre à ces questions, vie. Dans le cas de la vie biologique mort n'est pas univoque, mais pour la fiabilité mécanique, échec ou faute Il ne peut pas être bien défini, les systèmes mécaniques existants qui peut être partielle, controversée, ou ne pas être placé facilement l'échec dans la temps. Même dans les processus biologiques, certains événements (comme le 'infarctus du myocarde ou d'autres troubles organiques) peuvent avoir la même ambiguïté. la théorie mentionné ci-dessus suppose événements bien définis à des moments précis; D'autres cas peuvent être traités mieux par des modèles qui tiennent compte explicitement des événements ambigus.

La survie de la théorie présentée ici suppose également que la mort ou l'échec se produit qu'une seule fois pour chaque sujet. L'étude des événements récurrents est pertinente conception de systèmes fiables, et dans de nombreux domaines des sciences sociales et la recherche médicale.

Formulation générale

fonction de survie

L'objet d'un intérêt primordial dans le fonction de survie Il est désigné classiquement par S, Elle est définie comme

t) « />

t ou, dans certains cas, indiqué par T est un variable aléatoire qui indique le moment de la mort et Pr Il va probabilité.Il en résulte que: la fonction de survie est la probabilité que le moment de la mort est plus tard à un moment donné. La fonction de survie est aussi appelée la fonction du survivant ou fonction du bateau de survivants des problèmes de survie biologique et réalisation de la fonction des problèmes de survie mécanique. Dans ce dernier cas, la réalisation de la fonction est indiquée par r(t).

Habituellement, il se pose s(0) = 1, mais il peut être inférieur à 1 s'il y a la possibilité de la mort ou de l'échec immédiat.

La fonction de survie ne doit pas être de plus en plus:S(u) ≤ S(t) si u > t. Cette propriété découle directement du fait que S(t) Est l'intégrale d'une fonction non négative. Cela reflète l'idée que la survie au dernier moment est possible que si elle survit à tous les instants précédents. Compte tenu de cette propriété, la fonction de la durée de vie de l'événement et la distribution de densité (ci-après dénommés respectivement co fa et fa) Sont bien définis.

En général, il faut que la tente à zéro la fonction de survie à croître sans limite de temps, à savoir

S(t) → 0 t → ∞

sinon, cette limite peut être supérieure à zéro si la vie éternelle Il était possible.

La fonction de répartition de la durée de vie et la densité des événements

Les quantités relatives sont définies en termes de la fonction de survie. la fonction de distribution de la durée de vie, classiquement indiqué par fa, Il est défini comme le complément de la fonction de survie.

et le dérivé de fa (Par exemple, la fonction de densité de répartition de la durée de vie) est désigne classiquement à partir fa

fa Elle est parfois appelée la densité des événements;

est le montant des décès ou des défaillances par unité de temps.

fonction de danger et la fonction des risques cumulatifs

la fonction des risques, classiquement noté avec , Elle est définie comme le taux d'événements au moment t la survie conditionnelle jusqu'à ce que le temps t ou au-delà,

t) = {\ frac {f (t) \, dt} {S (t)}} = - {\ frac {S « (t) \, dt} {S (t)}} « />

Force mortalité Il est synonyme de fonction des risques lequel il est utilisé d'une manière particulière dans démographie et de la science actuarielle. le terme du risque Il est un autre synonyme.

la fonction de risque doit être non-négative, λ (t) ≥ 0, et son intégrale entre Il doit être infini, ou autrement limitée; la fonction de risque peut être croissant ou décroissant, pas monotone, ou discontinue. Un exemple est la fonction de risque de la courbure du tuyau de puits, qui est plus grande pour les petites valeurs de t, Elle diminue à un certain minimum et après de plus en plus à nouveau; cela peut décrire les propriétés de certains systèmes mécaniques, ainsi que l'échec immédiatement après une opération, ou plus tard, lorsque le système vieillit.

La fonction de risque peut également être représenté en termes de fonction cumulative du risque classiquement indiqué par :

si

Elle est appelée fonction du risque cumulatif parce que les définitions précédentes impliquent ensemble

,

dont elle est laaccumulation risque au fil du temps.

parce que il est à noter que Elle pousse indéfiniment, tend vers l'infini (en plaçant tendant vers zéro). Cela implique que Il ne diminue pas trop rapidement, le risque cumulatif divergeant. Par exemple, est pas le risque d'une partie de la fonction de distribution de la survie, parce que ses intégrale converge (1).

Quantité dérivée de la distribution de survie

La durée de vie future à la fois t0 est indiqué par le temps restant avant sa mort, la durée de vie future est dans la notation actuelle. la la durée de la vie future prévue est le valeur attendue durable temps futur. La probabilité de décès avant ou au moment, une survie renoncé à , il est juste

t_ {0}) = {\ frac {P (t_ {0}t_ {0})}} = {\ frac {F (t_ {0} + t) -F (t_ {0})} {S (t_ {0})}} « />

Par conséquent, la densité de probabilité d'une durée de vie est

et la durée prévue de la vie future est

pour , qui est, à la naissance, cela revient à la durée de vie prévue.

Dans les problèmes de construction, la durée de vie prévue est appelée temps prévu à l'échec et la durée de la vie est appelée temps restant prévu.

La probabilité de survie jusqu'à individuel t ou au-delà est S(t), Par définition. Le nombre attendu de survivants, dans un population de n individus est n × S(t) En supposant que la même fonction de survie pour tous. Ainsi, la proportion attendue des survivants est S(t), Et variance la proportion des survivants est S(t) × (1-S(t)) /n.

l'âge auquel reste une proportion spécifique q survivants peuvent être déterminées en résolvant l'équation S(t) = q que tq est le proportion en question. En général, il est intéressé par vie moyenne, pour lesquels q = 1/2, ou d'autres proportions que q= 0,90 ou q = 0,99.

Vous pouvez également obtenir des déductions plus complexes de la distribution de survie. Dans la réalisation de problèmes mécaniques, on peut prendre en compte le coût (ou, plus généralement, l 'utilité) Et résoudre les problèmes liés aux réparations et remplacements. Vous voyez, le problème du temps et le remplacement durabilité et la théorie du renouveau et de la théorie de la réalisation de la durabilité et longévité pour de nouvelles discussions sur ce sujet.

Des distributions de survie

Les modèles de survie paramétriques, sont construits en choisissant un spécifique distribution de probabilité pour la fonction de survie. Il est juste de parler de l'adaptation et l'analyse des modèles en termes généraux, en utilisant le concept indiqué ci-après [[Paramètres adapter les données]]. Il est donc relativement facile de remplacer une distribution à l'autre, afin d'étudier les conséquences des différents choix.

Le choix de la distribution de survie exprime des informations notamment sur la relation du temps d'une variable exogène par rapport à la survie. Il est naturel de choisir une distribution statistique qui n'a pas médiatique négative parce que les temps de survie ne sont pas négatifs. il existe différentes distributions communément utilisées dans l'analyse de la survie, qui sont indiquées dans le tableau suivant. Des distributions supplémentaires se trouvent dans les références.

distribution fonction de survie S(t)
distribution exponentielle(Cas de Weibull spécial)
Weibull
Gompertz distribution
Répartition lognormales
distribution log-logistique

est le fonction de distribution cumulative de distribution normale.

censure

la censure Il est une forme de données manquantes qui est largement répandu dans l'analyse des problèmes de survie. De façon idéale, la date de naissance, mais à la mort d'un sujet sont connus, dans ce cas, il est connu de la durée de sa vie. Si nous savons seulement que la date de décès est après cette date, il est appelé censure droite. La censure a droit pour ces personnes, il est connu de la date de naissance, mais qui sont encore en vie quand ils ont perdu de vue ou lorsque l'étude se termine. Si vous savez que la durée de vie d'un sujet est inférieure à une certaine durée, la durée de vie est dite censurée à gauche. Il a également constaté que les patients dont l'espérance de vie inférieure à un certain seuil ne peuvent être pleinement respectés: on appelle cela troncature. Notez que la troncature est différente de la censure à gauche, parce que, pour un droit donné censurés, nous savons que le sujet existe, mais pour une donnée tronquée, nous pouvons être complètement inconscients de troncature soggetto.il est également courant. Dans une étude définie définie insertion retardée, les sujets ne sont pas pleinement respectées jusqu'à ce qu'ils atteignent un certain âge. ces personnes ne sont pas observées jusqu'à ce qu'ils atteignent l'âge scolaire. Toute personne qui est morte en âge scolaire peut rester inconnue.

Adaptation des données Paramètres

modèles de survie peuvent être facilement considérés comme des modèles de régression ordinaires dans lesquels la variable de réponse est le temps. Cependant le calcul de la fonction de vraisemblance (nécessaire pour adapter les paramètres ou faire d'autres types d'inférence) est compliquée par les censeurs. la fonction de vraisemblance pour un modèle de survie, en présence de données censurées, il est formulé de la façon suivante. Par définition, la fonction de vraisemblance est la probabilité conjointe de données fournies par les paramètres du modèle. Il est traditionnel de supposer que les données sont fournies indépendamment par les paramètres. Ensuite, la fonction de vraisemblance est le produit de verosomiglianza de chaque donnée. Nous devons briser les données en quatre catégories: casier judiciaire, à gauche censurés, censurées à droite et à intervalles censurés. Ceux-ci sont indiqués respectivement co unc, l.c R.C, et I.C dans l'équation suivante.

T_ {i} | \ theta) \ prod _ {{i \ in I.C.}} \ Pr (T _ {{i, l}}

Pour une donnée avec casier judiciaire vierge âge égal de la mort, nous

Pour une donnée censurée à gauche, comme quand on sait que l'âge de décès est inférieur , nous

Pour une donnée censurée à droite, comme si vous connaissez l'âge de la mort est plus tard , nous

T_ {i} | \ theta) = S (T_ {i} | \ theta) « />

Pour une donnée censurée dans une gamme, comme le cas que vous savez que l'âge de la mort et le plus grand et inférieure , nous

bibliographie

Articles connexes

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