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en la théorie du signal, la formule d'interpolation Whittaker-Shannon, également connu sous le nom Shannon interpolation formule, formule d'interpolation Whittaker ou tout simplement formule d'interpolation, Il est un procédé pour reconstruire un signal à temps continu et à bande limitée par une série d'échantillons équidistants.

L'interpolation formule Whittaker-Shannon remonte aux travaux de E. Borel en 1898, et T. E. Whittaker en 1915, et il a été cité par des œuvres de J. M. Whittaker en 1935, et dans la formulation de théorème d'échantillonnage de Claude Shannon en 1949. E. T. Whittaker, qui a publié en 1915, il l'a appelé série Cardinal.

définition

la théorème d'échantillonnage établit qu'une fonction ayant la bande de fréquence limitée par Il peut être réécrite d'une manière unique en utilisant ses échantillons (avec ), Prise à une fréquence , si 2f_M « />. La reconstruction est basée sur la formule d'interpolation Whittaker-Shannon:

est l'intervalle d'échantillonnage, est le taux d'échantillonnage et est le fonction sinc normalisée.

Condition de validité

Whittaker-Shannon interpolation formule
Spectre d'un signal à bande limitée en fonction de la fréquence. La distance entre les deux limites de la bande, à savoir la largeur de bande RN = 2fM Il est également connu sous le nom Nyquist (Ou la fréquence) du signal.

Si la fonction est limité en bande et qui est échantillonné à une fréquence suffisamment élevée (determionata par le théorème d'échantillonnage), la formule d'interpolation assure la reconstruction exacte du signal. Formellement, en cas de de telle sorte que:

  • fonction Il est la fréquence à bande limitée , ou son transformée de Fourier pour F_ {M}} « />.
  • la taux d'échantillonnage Il est plus élevé que le taux de Nyquist, soit deux fois la bande passante: 2f_M « />, et cette fréquence de seuil est appelé fréquence de Nyquist. De manière équivalente, .

puis en utilisant la formule d'interpolation, vous pouvez reconstruire exactement le signal d'origine ses échantillons. Dans le cas contraire, vous pouvez rencontrer le phénomène de 'aliasing à savoir, les fréquences sont égales ou supérieures à Ils peuvent être mal reconstruites.

Interpolation comme étant la somme de convolution

La formule d'interpolation est dérivée dans l'article sur le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon, qui rappelle qu'il peut également être exprimé comme le convolution un train d'impulsions avec un infini fonction sinc:

désigne la convolution. Ceci est équivalent à un filtrage du train d'impulsions avec un filtre passe-bas idéal.

convergence

La formule d'interpolation converge toujours tout à fait et au niveau local uniformément lorsque:

de l'inégalité de Hölder cette condition est remplie si la séquence Il appartient à l'un des espaces Lp espaces avec , à-dire lorsque:

Cette condition est suffisante mais pas nécessaire. Par exemple, en général la série converge si la séquence d'échantillons de toute processus stationnaire, dans ce cas, la séquence d'échantillon est carré intégrable, et n'a pas d'espace .

Processus aléatoires stationnaires

si est une séquence infinie d'échantillons d'une fonction d'échantillon d'un processus stationnaire, alors il ne fait pas partie d'un ou l'espacep avec une probabilité de 1, à savoir la somme infinie d'échantillons élevé à la puissance p Il ne dispose pas d'une valeur attendue du produit fini. Cependant, la formule d'interpolation converge avec la probabilité 1.

La convergence peut être facilement démontré en calculant les variations des sommes partielles, et montrant que la variance peut être arbitrairement petit en choisissant un nombre suffisant de termes. Si le processus signifie qu'il est non nul, alors il doit être considéré comme paires de termes pour démontrer que la valeur attendue des sommes partielles converge vers zéro.

Depuis un processus aléatoire n'a pas une transformée de Fourier, la condition dans laquelle la somme doit également être différentes converge vers la fonction d'origine. Un processus aléatoire stationnaire a une fonction d'autocorrélation, et donc une densité spectrale telle que déterminée par théorème de Wiener-Khintchine. Une condition appropriée pour la convergence d'une fonction d'échantillonnage du procédé est que la densité spectrale du procédé est égale à zéro pour toutes les fréquences égales à la moitié et au-dessus de la fréquence d'échantillonnage.

bibliographie

Articles connexes

liens externes