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la La formule de sommation de Poisson, également connu sous le nom resommation Poisson, est une identité entre les deux sommes infinies, dont le premier est construit avec une fonction et le second avec son transformée de Fourier . La fonction est définie sur l'axe réel ou dans l'espace euclidien à taille. La formule a été découverte par Denis Poisson Siméon.

La formule et ses généralisations sont importantes dans de nombreux domaines des mathématiques, y compris la théorie des nombres, l 'analyse harmonique, et la géométrie de Riemann. Une façon d'interpréter la formule à une dimension est obtenue en observant la relation entre la spectre dell 'opérateur de Laplace-Beltrami sur cercle et la longueur de la géodésique périodique sur cette courbe. en analyse fonctionnelle, la formule de trace Selberg établit une relation de ce type - mais le caractère beaucoup plus profond - entre le spectre de la laplacien et la longueur de la ligne géodésique sur surfaces avec courbure négative constante.

la formule

Date de fonction appropriée , la formule de sommation de Poisson est donnée par:

est le transformée de Fourier de , à savoir:

Le remplacement et l'exploitation des propriétés:

0} « />

la formule de sommation devient:

En définissant également et l'utilisation de la propriété:

vous obtenez une représentation périodique de période , dont série de Fourier il est:

On peut montrer que ce rapport est vrai, dans le sens que si le membre à droite est la série de Fourier de l'organe à gauche, et cette série peut diverger. En fait, de la théorème de convergence dominée il en résulte que la somme Il existe et est finie pour presque toutes les valeurs de , et il est intégrable sur l'intervalle . De plus, l'expression du membre de droite montre qu'il suffit de montrer que les coefficients de cette série de Fourier sont , comme suit:

où l'échange entre la somme et l'intégrale est encore permis par le théorème de convergence dominée. Avec l'intégration par substitution, plaçant , Enfin, l'expression ci-dessus devient:

De la même manière, la représentation périodique de la transformée de Fourier d'une fonction de développement possède un équivalent en série de Fourier:

est l'intervalle de temps qui correspond à la période à laquelle Il est prélevé.

théorème

les deux une fonction complexe définie sur deux fois en continu différentiables, dont les deux premiers dérivés de Il peut être intégré, et qui satisfait la relation:

Les deux également un nombre strictement positif. Cela dit la manière fondamentale, qui est l'identité suivante:

démonstration

Le côté gauche de la formule de sommation de Poisson est la somme d'une série de fonctions continues. Les hypothèses sur le comportement des l'infini implique que la série converge normalement sur tout compact de . Par conséquent, la somme est une fonction continue, et la formule de définition montre qu'il est périodique avec la période .

Ainsi, vous pouvez calculer les coefficients de son série de Fourier l'exponentielle système orthonormé complet :

Merci à la convergence normale de la définition de la série nous pouvons échanger la somme et l'intégration, puis écrire:

Si vous faites le changement de variable dans chaque intégrale vous obtenez:

De l'hypothèse de et ses dérivés, et l'identité classique sur la transformation du dérivé, on voit que la fonction Il satisfait à la relation:

Par conséquent, le nombre de Il est que nous sommes absolument convergentes dans une situation où l'on peut résumer la série de Fourier , et obtenez:

Ceci est la formule désirée, en se rappelant que .

Théorie des distributions

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Distribution (mathématiques).

Un moyen pratique de passer nos conditions régulières de la fonction Il est de placer la formule dans le contexte plus large de la théorie des distributions. si est le distribution de Dirac et si l'on introduit la distribution suivante, dite peigne Dirac:

Une façon élégante de réécrire la somme équivaut à dire que est la transformée de Fourier de lui-même.

Considérons une distribution dont les dérivés diminuent rapidement. Considérant le peigne de Dirac et son développement série de Fourier:

Il a:

et de même:

Somme périodique

Une forme de sommation de Poisson est obtenue en considérant un fonction périodique la période et rappresendola par une fonction non périodique comme suit:

Cette expression est appelée sommation périodique, et si Elle est représentée dans série de Fourier le complexe de ces coefficients de la série sont proportionnelles aux valeurs de transformée de Fourier de « Sampled » à intervalles .[1][2]

D'une manière similaire, une série de Fourier dont les coefficients sont obtenus par échantillonnage Elle est équivalente à la somme périodique de la transformée de Fourier , connu sous le nom transformée de Fourier discrète.

Si elle est une fonction périodique en utilisant le domaine (espace quotient) Vous pouvez écrire:

les resommation Applications Poisson

Un résultat crucial de la formule de sommation est de fournir un critère qui garantit le rechapage d'un signal championnat. Il alliage échantillons d'une forme d'onde générique dans le domaine temporel pour les répétitions de sa transformée dans le domaine fréquentiel: le choix d'un intervalle d'échantillonnage suffisamment rapide, il y aura pas de chevauchement dans le domaine des fréquences et sera toujours possible de reconstituer le signal échantillonné.

La somme est également utile pour déterminer la somme des séries telles que:

ou même:

En général, le Poisson resommation est utile comme une série qui converge lentement l'espace direct peut être transformé en une série convergente beaucoup plus rapide dans l'espace de Fourier (si l'on prend l'exemple de gaussiennes, une grande variance gaussienne espace direct est transformée en une gaussienne avec une petite variance de l'espace de Fourier). Telle est l'idée fondamentale derrière la somme Ewald.

notes

  1. ^ Mark Pinsky, Introduction à l'analyse de Fourier et Ondelettes, Brooks / Cole, 2001 ISBN 978-0-534-37660-4.
  2. ^ Antoni Zygmund, série trigonométriques (2e éd.), Cambridge University Press, 1988 ISBN 978-0-521-35885-9.

bibliographie

  • (FR) Matthew R. Watkins, page sur les liens entre la théorie des nombres et la physique théorique.

Articles connexes

  • Distribution (mathématiques)
  • Selberg formule
  • opérateur de Laplace-Beltrami
  • Séries de Fourier
  • théorème de convergence Dominated
  • Transformée de Fourier discrète
  • transformée de Fourier