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Séries de Fourier
Rapprochement de la fonction onde carrée à travers les quatre premiers termes de la transformée de Fourier correspondant transformer

en mathématiques, en particulier analyse harmonique, la série de Fourier Il est une représentation d'un fonction périodique au moyen d'un combinaison linéaire de fonctions sinusoïdales. Ce type de désintégration est la base de 'L'analyse de Fourier.

histoire

La série porte le nom du mathématicien français Joseph Fourier (1768-1830), Qui a été le premier à étudier systématiquement ces série infinie. Auparavant, ils avaient fait l'objet d'une enquête préliminaire Euler, d'Alembert et Daniel Bernoulli. série de Fourier a appliqué ces à la solution du 'équation de la chaleur, publier ses premiers résultats 1807 et 1811. Le travail le plus vaste, intitulé De la théorie analytique des Chaleurs, il est 1822. Après le milieu du siècle Dirichlet et Riemann Ils ont reformulé les résultats de Fourier avec plus de rigueur et de précision et sous une forme plus satisfaisante.

Par la suite de nombreuses autres formes ont été introduites transformées intégrales qui prolonge la première idée de représenter une fonction périodique chevauchement d'harmoniques. Il y a en fait beaucoup d'autres fonctions de orthogonales successions qui ont des propriétés similaires à celles de l'analyse de Fourier, ce qui correspond souvent à des solutions d'une équation différentielle appropriée telle que, par exemple, les successions de Bessel. Une grande classe de séquences utiles, d'ailleurs, est celle des soi-disant solutions problèmes Sturm-Liouville. Ils peuvent également faire remonter aux solutions de Schrödinger de Mécanique ondulatoire.

définition

Un polynôme trigonométrique est un fonction périodique la période défini sur le type réel sur le terrain:[1]

et Ils sont des nombres réels, complexe et n Il est tout.

Les deux:

et:

un produit intérieur en , où est le circonférence unitaire.

puis est un base orthonormé par rapport au produit interne ainsi défini, en fait:[2]

Un tel système orthonormé il est dit orthonormé système trigonométrique, et est un système complet.

Il définit les séries de Fourier d'une fonction carré sommable dans la représentation d'une fonction à l'aide de combinaison linéaire des vecteurs de base le système trigonométrique orthonormé:[3]

Les coefficients de la combinaison sont donc les projection de la fonction sur la base des vecteurs eux-mêmes:

et ils sont appelés coefficients de Fourier.

Les sommes partielles de la série de Fourier sont aussi:

La série de Fourier d'une fonction peut être exprimée sous des formes différentes sont mathématiquement équivalentes: rectangulaire, polaire et complexe.

Forme rectangulaire

Séries de Fourier
Deux approximations d'un signal émis à intervalles réguliers

Considérons une fonction d'une valeurs réelles variables complexe qui est périodique de période et carré intégrable sur l'intervalle . Ils définissent les coefficients via analyse de la formule:

et la représentation au moyen de la série de Fourier de Il est alors donné par synthèse de formule:

Chacun des termes de cette somme est appelée de sorte Fourier. Dans le cas particulier important dans lequel la est une fonction des valeurs royauté, il est souvent utile d'utiliser l'identité pour représenter de manière équivalente comme une combinaison linéaire infinie de fonctions de la forme et . Vous obtenez la série de Fourier:

avec la période de la fonction et où:

pour les fonctions égal (Où seuls les cosinus) ils apparaissent:

tandis que pour les fonctions impaires (où seuls les seins apparaissent):

les coefficients et exprimer les amplitudes ou les poids des ondes sinusoïdales et cosinusoidi, et Elle correspond à la valeur moyenne dans une période de la fonction . Cette formulation peut être retracée à la représentation précédente si:

forme complexe

La série de Fourier sous la forme d'une fonction complexe il est:

quand

les coefficients Ils sont calculés selon la formule:

Si la fonction Il est des coefficients réels satisfaire les propriétés de symétrie hermitienne:

Ce fait peut être vu expliquer la somme des termes d'ordre et série:

Par conséquent, en utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques (en particulier, la parité du cosinus et sinus de l'écart) se trouve:

On voit donc que pour avoir une réelle fonction décrite dans une série de Fourier, la quantité doit être réelle, alors que le montant Il doit être pur imaginaire pour chaque . Les deux conditions sont vérifiées par les propriétés de symétrie hermitienne des coefficients.

Forme polaire

Une autre forme dans laquelle il est possible d'exprimer la série de Fourier d'une fonction réel est la forme polaire:

les coefficients , et Ils peuvent être définis à partir des coefficients la forme complexe:

La convergence des séries de Fourier

Séries de Fourier
Fourier Sum approximation d'une onde carrée. Il vitrines (A), (B), (C) et (D), à partir de laquelle il est noté que l'augmentation de il améliore l'approximation donnée par le développement en série.

En général, la série de Fourier d'une fonction continue définie sur le cercle unité ne converge pas vers la même fonction, et donc l'écriture:

ne vaut pas pour chaque fonction.[4] Cela peut être démontré, par exemple, par le théorème de Banach-Steinhaus. En particulier, pour tout nombre réel Il est un sous-ensemble dense espace des fonctions continues définies sur de telle sorte que:[5]

Cependant, il montre que pour il y a un polynôme trigonométrique de telle sorte que:

pour chaque t réel. En particulier, en 1904, le mathématicien hongrois Lipót Fejér a montré que la moyenne arithmétique des sommes partielles de la série de Fourier converge uniformément vers la valeur de la fonction elle-même.[3]

Malgré les coefficients de Fourier et peut être formellement définir pour chaque fonction de telle sorte qu'il est logique de considérer les intégrales qui les caractérisent, la convergence de la série définie à travers la fonction dépend des propriétés spécifiques de cette fonction. si il est carré intégrable nous avons:

Donc obtenir une convergence dans la norme espace L².

Il existe d'autres critères qui permettent de faire en sorte que la série converge en un point donné, par exemple le fait que la fonction est différentiables le point. Même avec un saut de discontinuité est acceptable, étant donné que si la fonction a dérivé vers la gauche et vers la droite puis la série de Fourier converge vers la valeur moyenne des limites respectives vers la gauche et vers la droite. cependant, il peut rencontrer le phénomène de Gibbs, et il y a la possibilité que la série de Fourier d'une fonction continue ne converge pas point par point.

propriété

Séries de Fourier
La peau d'un tambour vibre seconde onde sur une transformée de Fourier cercle

Les propriétés des séries de Fourier sont en grande partie les conséquences des propriétés rectitude et omomorfismo fonctions , et en général les propriétés du groupe de rotation. fonctions appartenant à la base orthonormale sont des homomorphismes du groupe d'additifs de la ligne réelle sur groupe circulaire, ou la combinaison du module unitaire équipé d'ordinaire multiplication des nombres complexes terrain complexe. En conséquence de cela, cependant:

puis, en notant transformer , nous avons:

En outre, si Il est la transformation de , puis:

Autrement dit, le coefficient de Fourier de la convolution de deux fonctions, il est le produit des coefficients de Fourier de même rang des deux mêmes fonctions.

Séries de Fourier
Animation montrant les noyaux de Fejér en séquence

En échangeant les rôles de produit de convolution habituelle et produit, si alors les coefficients de cette fonction sont données par produit de convolution des coefficients des fonctions et :

Les théorèmes de Riesz-Fischer et Parseval déterminent également deux propriétés importantes de la série de Fourier.

Le théorème de Riesz-Fischer

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: théorème de Riesz-Fischer.

Le théorème de Riesz-Fischer affirme que, dans un espace complet chaque succession en Il définit carré intégrable fonction. En particulier, le théorème détermine les conditions pour lesquelles les éléments d'une succession de sont les coefficients de Fourier de certains vecteur .

les deux un système orthonormé de polynômes dans une espace de Hilbert et les deux une succession. Ensuite, il existe un seul transporteur de telle sorte que les éléments de la séquence sont le coefficients de Fourier de :[6]

est un produit intérieur. La séquence définit alors une fonction en .

Le théorème de Parseval

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Le théorème de Parseval.

Siano et deux fonctions Riemann intégrable complexe défini sur Valued . Qu'ils soient périodique de période ; et être leur série de Fourier respectivement donnée par:

puis:[7]

En cas particulier, si nous avons:

exemple

Séries de Fourier
approximations successives de fonction d'identité periodicizzata
Séries de Fourier
Animation montrant graphiquement les approximations successives d'une fonction en dents de scie

Considérons la fonction (fonction d'identité) à . Si vous voulez envisager son développement en dehors de ce domaine, la série de Fourier exige implicitement que c'est fonction périodique (extension périodique de la fonction d'identité est un fonction en dents de scie).

Pour calculer les coefficients de Fourier de cette fonction est utile d'observer que est un même fonction, tandis que et sont des fonctions impaires:

Notez que et ne sont pas valides parce que et Ce sont des fonctions impaires. Ensuite, la série de Fourier pour la fonction à l'étude:

Il peut être intéressant de voir l'application du calcul de la série de Fourier de valeur de Fonction Riemann zeta.

notes

  1. ^ W. Rudin, Pg 88.
  2. ^ W. Rudin, Pg 89.
  3. ^ à b W. Rudin, Pg 91.
  4. ^ W. Rudin, Pg 101.
  5. ^ W. Rudin, Pag 102.
  6. ^ W. Rudin, Pg 85.
  7. ^ W. Rudin, Pg 92.

bibliographie

Articles connexes

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