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en mathématiques, la représentation spectrale de signaux est une description formelle des signaux (fonctions au fil du temps) dans le domaine des fréquences, à-dire, en termes de fréquence, qui est utilisé dans de nombreux domaines de la science, commeingénierie et physique. Dans cette description, chaque fréquence est composé d'un signal que l'on appelle harmonica, et d'un point de vue mathématique pour chaque harmonique, il devient porteur d'un match base un espace vectoriel avec dimensions infinies produit intérieur (Produit scalaire) du champ complexe, qui est la base de l'un espace de Hilbert. Le signal est ensuite écrit en combinaison linéaire dans cet espace.

L'analyse de la fréquence du comportement d'un système dynamique il est appelé réponse en fréquence le système dynamique.

espace Hilbert

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: espace Hilbert.

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel avec produit scalaire sur terrain réel ou complexe qui est complet par rapport à distance induite par ce produit scalaire. Considérant un ensemble de vecteurs d'un complexe de l'espace de Hilbert il a, par conséquent, que la somme et le produit par un scalaire maintiennent ces vecteurs dans l'espace:

avec (ou ). En outre, il est seulement l'inverse de la somme que . Dans ce contexte, il peut définir la dépendance et indépendance linéaire Vector et le concept de base. Une base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui sont également un système de générateurs, à savoir, un système de vecteur Il est linéairement indépendant et former un système complet de telle sorte que chaque autre support est représenté comme une combinaison linéaire éventuellement infinie, d'un des vecteurs de base:

sont les coefficients de la combinaison linéaire. Un espace de Hilbert est un espace normé, -à-dire est défini norme un transporteur, il est un nombre réel tel que:

Il y a plusieurs règles pour des espaces abstraits, mais dans la théorie des signaux est utile d'introduire les éléments suivants:

ou dans le cas général des signaux complexes:

où vous avez utilisé le produit scalaire l'espace de Hilbert:[1]

qui a les propriétés:

En particulier, deux vecteurs particuliers et Ils disent qu'ils sont orthogonaux si:

En supposant que vous avez une base de vecteurs orthogonaux, alors ils peuvent normaliser en divisant par leur norme de telle sorte que:

et de cette façon vous obtenez une base orthonormé.

La représentation spectrale est basée sur le fait que toute fonction (signal) définie dans un intervalle Il peut être développé dans série de Fourier comment combinaison linéaire transporteurs (À son tour en fonction du temps) appartenant à une base orthonormée:

où les coefficients Ils sont déterminés automatiquement par le produit scalaire:[2]

La base est orthonormé le plus commun fonctions exponentielles (Défini ):

Représentation des signaux périodiques

icône Loupe mgx2.svg Le même sujet en détail: Séries de Fourier.

les signaux périodiques Ils sont tels que , où est le période: Ce sont les signaux qui se répètent à l'identique après un certain temps . Considérons un signal périodique continu, dont la série de Fourier est la suivante:

sont des coefficients déterminables avec le produit scalaire et est la base orthonormale de fonctions exponentielles. si est le impulsion clé (La fréquence la plus basse du signal), la sommation précédente prend la forme:[3]

Le premier terme est constante et tous les autres termes sont un combinaison linéaire des coefficients appropriés et fonctions exponentielles. Pour déterminer les coefficients et il utilise généralement le produit scalaire.

la constante Elle est égale à la valeur moyenne du signal dans la période de définition, en fait:

où la seconde intégrale du deuxième terme disparaît parce que l'intégrale sur une période de fonctions exponentielles est nulle pour la symétrie. Il y a donc:

à savoir la valeur moyenne du signal pendant la période . Pour déterminer les coefficients restants vous exécutez le produit scalaire:

à partir de laquelle on obtient:

Tous les termes avec sinus et cosinus sont nuls dans la période, ainsi que les termes mixtes. Donc:

à savoir:

Pour déterminer les coefficients vous exécutez le produit scalaire de la même manière:

Tous les termes avec le cosinus et sinus sont égales à zéro dans la période, ainsi que les termes mixtes. Donc:

à savoir:

la représentation des propriétés de la série de Fourier

Dans la représentation du signal à travers une série de Fourier du signal périodique, il est décomposé en un ensemble de multiples fréquences infinies du fondamental , ou , et ils sont appelés harmonique (Un terme non lié au concept de fonction harmonique). Chacune de ces composantes spectrales ayant une amplitude égale à:

et une première phase:

En définissant:

vous pouvez réécrire la série comme:

Si le signal est une fonction même de temps, à savoir si , alors toutes les harmoniques qui contiennent le sein (qui est une fonction impaire) annuler. Ainsi, la série devient:

avec des coefficients:

De même, si le signal est une fonction impaire de temps, à savoir si , toutes les harmoniques qui contiennent le cosinus annulent (donc également la valeur moyenne) et la série devient:

avec des coefficients:

forme complexe de la série de Fourier

Vous pouvez toujours utiliser les formules d'Euler:

pour obtenir une forme alternative de la série de Fourier:

le terme entre parenthèses peut être réécrite mettant en lumière l'exponentielle:

parce que:

Les nouveaux taux sont les suivants:

Grâce à ces transformations mathématiques, vous pouvez réécrire la série de Fourier comme:

où:

Il convient de noter que la série est également définie pour négatif.

Représentation des signaux non périodiques

Même la représentation des signaux non périodiques est effectuée à l'aide du base orthonormé formé par les fonctions harmoniques, à condition que la fonction non périodique diminue indéfiniment avec une régularité suffisante. Cette contrainte est due au fait que la méthode utilisée pour la représentation de fréquence consiste en la construction d'un signal périodique donnée par la répétition à l'infini d'un signal non périodique, qui doit être définie dans un intervalle de temps extérieur est égal à zéro.

La représentation des signaux non périodiques est généralement transmise par l'utilisation de transformée de Fourier ou transformée de Laplace, qui fournit une écriture comme:

où la fonction Il est appelé densité spectrale et il est égal à 'antitransformed:[4]

Ces relations sont valables sous certaines conditions, dont le plus important est qu'il existe et il a partout:

Il va ou . Si cette condition est valide transformer et l'inverse Ils sont des fonctions continues, limitées et applique:

transformer la propriété

De la linéarité intégrale suit immédiatement la linéarité des transformations intégrales. Explicitement, notant l'opérateur a changé:

pour chaque et .

Spectre de dérivée et intégrale

la dérivé du signal dans le temps correspond, dans le domaine de fréquence, la multiplication par transformer le signal de non-dérivée. En fait à la fois, un signal et il a transformé son. Ensuite, le dérivé du signal est la suivante:

Alors Transformer il est et transformer il est .

Le spectre de 'intégral Au lieu d'un signal est donné par la division du signal transformé (non intégré). les deux un signal et sa transformation, le signal intégral transformé:

Il est le rapport:

produit de deux signaux

Une particularité de la représentation spectrale est particulièrement utile que le convolution en un temps de deux fonctions, il est égal au produit de leur algébrique transformée dans le domaine fréquentiel. En fait, le produit transformé par écrit de deux signaux en tant que:

où dans la première étape, il a écrit la fonction de départ comme étant l'inverse de la transformée (entre parenthèses), tandis que dans le second terme entre crochets est la transformée fonction traduite par la multiplication par l'exponentielle. Donc:

Cette intégrale est un produit de convolution et est écrit symboliquement comme:

C'est aussi l'inverse, si vous avez le produit ordinaire de deux spectres:

parité

La transformation d'un signal réel Vous pouvez généralement écrire:

avec est la partie réelle de la transformée et est même fonction, tandis que est la partie imaginaire du spectre et est fonction impaire. Si vous exécutez l'inverse, nous obtenons le signal réel dans le temps:

En développant le produit dans l'intégrale, nous avons:

Pour que le signal soit réel, doit nécessairement arriver que le réel et imaginaire sont tous deux nuls, soit:

et cette condition est satisfaite que si la partie réelle est même et la partie imaginaire est étrange. Il est vrai aussi, donc si la partie réelle de la transformation d'un signal est même et la partie imaginaire est impair, alors vous obtenez un signal réel.

notes

  1. ^ S. Lang, Pg 158.
  2. ^ W. Rudin, Pg 89.
  3. ^ W. Rudin, Pg 88.
  4. ^ W. Rudin, Pg 180.

bibliographie

  • Serge Lang, algèbre linéaire, Turin, Bollati Basic Books, 1992 ISBN 88-339-5035-2.
  • (FR) Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970 ISBN 0-07-054234-1.
  • (FR) Michael Reed, Barry Simon, Méthodes modernes de Physique mathématique, vol. 1: Analyse fonctionnelle, 2e éd., San Diego, Californie, Academic Press inc., 1980 ISBN 0-12-585050-6.

Articles connexes