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en mathématiques, un polynôme trigonométrique est un combinaison linéaire fin fonctions et pour certaines valeurs entiers positifs. un série de Fourier Est un polynôme tronqués trigonométrique.

Les polynômes trigonométriques sont utilisés, par exemple, l'interpolation trigonométrique est utilisé pour interpoler fonctions périodiques et transformée de Fourier discrète.

le terme polynôme trigonométrique Il vient de l'analogie de l'utilisation des fonctions et une base pour les monômes polynômes.

définition formelle

Une fonction forme

avec pour et au moins l'un des et différent de zéro, que l'on appelle complexe polynôme trigonométrique qualité . Utilisation de la La formule d'Euler le polynôme peut être réécrite comme

De même, si pour et au moins l'un des et différent de zéro, la fonction

il est appelé réel polynôme trigonométrique qualité .

propriété

  • Un polynôme trigonométrique de degré Il peut être considéré comme fonction périodique sur droit réel par période ou en tant que fonction (non périodique) sur le cercle unité.
  • Un polynôme trigonométrique non identique à zéro degré Il a au plus racines dans chaque intervalle pour chaque réel.
  • L'ensemble de polynômes trigonométriques est épais en l'espace de fonctions continues sur le cercle unité avec norme uniforme. Ceci est un cas particulier de théorème de Stone-Weierstrass. Plus précisément, pour chaque fonction continue et pour chaque 0 « /> il y a un polynôme trigonométrique que pour chaque .
  • Le théorème affirme que le Fejér moyenne arithmétique tout sommes partielles de série de Fourier une fonction converge uniformément à .

bibliographie

  • (FR) Walter Rudin, Analyse réelle et complexe, New York, McGraw-Hill, 1987 ISBN 978-0-07-054234-1.

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