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en mathématiques, en particulier analyse fonctionnelle, l 'Parseval ou identité Bessel-Parseval est une réalisation majeure qui concerne sommabilité de série de Fourier d'une fonction. Il est une égalité qui adapte théorème de Pythagore spécial espaces fonctionnels dimension infinie.

De façon informelle, l'identité de Parseval indique que la somme des carrés des coefficients de Fourier d'une fonction est égale à 'intégral fonction du carré:

où les coefficients de Fourier de Ils sont donnés par:

De manière plus générale, le résultat est vrai même si est un carré sommable ou appartenant à l'espace2[-π, π].

Un résultat similaire est théorème de Plancherel, qui indique que l'intégrale du carré de transformée de Fourier d'une fonction, il est égal à l'intégrale du carré de la fonction elle-même. Dans une dimension, Il est donc:

l'identité

Considérons un espace normé séparable , par exemple, un espace de Hilbert, et les deux un système orthonormé par rapport à produit intérieur défini . L'identité de Parseval indique que pour chaque :

où le produit scalaire Il définit le n ième coefficient de Fourier par rapport à la base .

si est une base orthogonale seulement:

L'identité est une généralisation de théorème de Pythagore, qui indique que la somme des carrés des composantes d'un vecteur dans une base orthonormée est égale au carré de la longueur du vecteur lui-même.

si coïncide avec et , où , Il trouve le cas de série de Fourier ci-dessus avec qui est dit système trigonométrique. En particulier, l'identité Parseval pendant une certaine période Elle garantit la convergence de la série de Fourier respective la norme , et l'identité valable pour tous veille à ce que est un système orthonormé complet. si Il est une date-à-dire l'espace de Hilbert implique une base orthogonale d'identité Parseval détient pour tout élément de l'espace.

L'identité de Parseval et orthogonalité mutuelle des sous-espaces générés par les vecteurs implique également que:

à savoir que chaque élément est la somme de sa série de Fourier. la Le théorème de Parseval pour la série de Fourier, il est un cas particulier.

espaces prehilbertiani

L'identité de Parseval dans ses vecteurs considérés comme les plus généraux (fonctions) dans un l'espace de produit interne . si Il est un ensemble de orthonormé , dire total en ce sens que durée linéaire de il est épais en , puis:

Si n'est pas l'égalité totale est remplacée par l'inégalité puis la conclusion coïncide avec celle de L'inégalité de Bessel. La preuve de cette version générale utilise théorème de Riesz-Fischer.

bibliographie

  • (FR) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Analyse réelle et abstraite , Springer (1965)

Articles connexes

  • l'inégalité de Bessel
  • Séries de Fourier
  • Le théorème de Parseval
  • théorème de Pythagore
  • Plancherel théorème
  • transformée de Fourier

liens externes

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