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la phénomène de Gibbs Il se produit lorsqu'un reconstruit signal de série de Fourier tronqué. nommé d'après physique États-Unis Willard Gibbs.

donné une fonction périodique qui présente la points de discontinuité de la première espèce, son développement au moyen de la série de Fourier est formée par des termes infinis. Quand il reconstitue le signal, si cette série est tronquée sont obtenus, le dépassement de la valeur de la fonction reconstruit dans le voisinage du point de discontinuité: plus le nombre de composants de la série, la valeur de crête dudit dépassement reste constante, alors que les oscillations en vertu de laquelle ces dépassements se réfèrent approche du point de discontinuité.

introduction

Gibbs Phenomenon
onde carrée approximative à la fin 5 de la série de Fourier
Gibbs Phenomenon
onde carrée approximative à la fin 25 de la série de Fourier
Gibbs Phenomenon
onde carrée approximative à la fin 125 de la série de Fourier

Les trois chiffres à droite décrivent le phénomène de 'onde carrée, qui est détendu dans Fourier:

Plus précisément, cela est une fonction que pour chaque n plein prend la valeur entre et et la valeur de entre et . Il a donc une forte discontinuité chaque multiple de , et la fonction a période

Si l'on considère plus termes l'erreur d'approximation est réduite en amplitude, mais converge vers une hauteur fixe (qui peut être calculé par une formule). La valeur de dépassement, à la hauteur de l'onde nominale (), Il est donc:

De manière plus générale, étant donné une fonction périodique différentiables sauf si elle présente un point de discontinuité de la hauteur , la série de Fourier tronquée a un dépassement d'environ à chaque extrémité. Autrement dit, la fonction qui est dérivée de la série de Fourier tronquée présente une discontinuité plus grande de 18% de la fonction d'origine.

Le montant:

Il est connu sous le nom constante Wilbraham-Gibbs.

description

Fonction Date continue parfois, différentiables et périodiques par période 0 « />, supposons que, à un point la fonction est discontinue et la limite pour ce qui tend à de gauche est différente de la limite Droit. En particulier les deux, la différence entre les limites gauche et droite:

Pour tout entier positif , les deux la série de Fourier de tronqué au terme N-ème:

où les coefficients de Fourier , et Ils sont calculés par la formule habituelle:

Vous avez:

et:

mais:

En général, si est une séquence de nombres réels qui converge vers pour et si le saut Il est positif, alors:

et:

Si le saut est négatif, il doit changer limite supérieure à la limite inférieure et changer les signes de ≤ inégalité avec ≥ et vice-versa, à savoir:

et:

exemple

Dans l'exemple par rapport au phénomène d'onde carrée, décrit ci-dessus, la période Il est égal à , discontinuité Il est à 0 et le saut Il est égal à . Pour simplifier, nous considérons que les cas N égal (si N Il est étrange que le traitement est très similaire). Il a:

remplaçant vous obtenez:

comme on le voit ci-dessus. Maintenant, vous pouvez calculer:

Si vous définissez la fonction sinc vous pouvez réécrire l'équation ci-dessus:

Mais l'expression placée entre crochets est une approximation de l'intégrale . Étant donné que la fonction sinc est continue, l'approximation converge vers l'intégrale par . Donc, vous avez:

dont il est ce qu'il avait trouvé dans le paragraphe précédent. De la même manière il est:

bibliographie

  • (FR) J. W. Gibbs, nature , 59 (1899) pp. 606
  • (FR) H. S. Carslaw, Introduction à la théorie des séries de Fourier et Intégrales , Dover, réimpression (1930)
  • (FR) Arfken, G. "Gibbs phénomène." dans §14.5 Méthodes mathématiques pour Physiciens, 3e éd. Orlando, FL: Academic Press, pp. 783-787, 1985.
  • (FR) Foster, J. and Richards, F. B. Le phénomène de Gibbs pour Approximation linéaire par morceaux. Amer. Math. Mensuel 98, 47-49, 1991.

Articles connexes

liens externes

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